Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos Taller Capacitación a docentes - UAI Fractales: Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos

Primera Parte Aspectos Teóricos de la Geometría Fractal Definición de Fractal Autosimilitud Dimensión Fractal Diferentes Tipos de Fractales

¿Cuántos tipos de Fractales existen? ¿Qué es un Fractal? Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales: Autosimilitud Dimensión Fraccionaria ¿Cuántos tipos de Fractales existen? Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera: Lineales Complejos Caóticos

Autosimilitud 1) Perfecta: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto compelto.

Autosimilitud 2) Estadística: cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales.

¿Cómo se genera un Fractal? Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse). Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora. Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software. Ejemplos: Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo Neuronal Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos. Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo. Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.

Definición informal de Geometría Fractal La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.

Diferentes Tipos de Fractales Son los objetos geométricos de la Teoría del Caos Fractales Complejos Lineales Caóticos Poseen estructura Fractal. Autosimilitud Estadística Autosimilitud Perfecta Autosimilitud Estadística Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting Dimensión Fractal fácil de calcular con: S = LD Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal. Se crean a partir de: -Un generador -Un algoritmo de repetición Se crean a partir de: -Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: Atractor de Lorentz Modela el Clima Meteorológico Ejemplo: Triángulo de Cantor y Triágulo de Sierpinski Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia

Fractales Caóticos - Atractores Extraños

Segunda Parte Sistemas Dinámicos Teoría del Caos Arte

Conceptos básicos Concepto de Dinámica: Definición de Sistema: La dinámica de cualquier situación se refiere a como el estado de la mencionada situación planteada, evoluciona a lo largo del tiempo. Definición de Sistema: Grupo interrelacionado de elementos independientes que forman un “todo” más complejo y persigue un determinado fin. Por ejemplo, el cuerpo humano o una red de computadores. Definición Informal de Sistemas Dinámicos: Llamamos Sistemas Dinámicos a aquellos que, mediante una regla, pueden ser definidos por un conjunto de variables cuyos valores cambian a lo largo del tiempo. - Dichas variables se denominan “variables de estado” - Ellas determinan el “estado” del sistema en un momento dado - Ellas trazan una trayectoria determinando el “espacio de estado” Nota: No confundir la evolución en el tiempo de las variables de una ecuación con la evolución de los parámetros de la misma. Conceptos básicos

Caos de todos los días Por un clavo se perdió una herradura, Por la herradura se perdió el caballo, Por el caballo se perdió al jinete, Por el jinete ser perdió la batalla, Por la batalla se perdió el reino ------------------------------------------------------------------------------------- Efecto Mariposa Este concepto hace referencia a la sensibilidad de un sistemas a las condiciones iniciales: El aleteo de una mariposa en Tokio puede generar un torbellino en el Caribe

Al repetir este experimento Caos de todos los días Al repetir este experimento en reiteradas ocasiones, por más que las condiciones iniciales sean prácticamente las mismas, los resultados son significativamente diferentes. “ Cambios minúsculos conducen a resultados totalmente divergentes”

Caos en la Naturaleza Dualidad entre Orden y Caos. Ejemplos: Solitones Turbulencias

Leyes “Informales” del Caos Leyes del Caos Leyes “Informales” del Caos Todo sistema presenta una dualidad Orden – Caos Todo sistema presuntamente Ordenado tiende al Caos. Todo sistema Caótico presenta islas de Orden intrínsecas Ej: Cuerpo Humano Corazón – Cerebro

Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos Taller de Fractales y Sistemas Dinámicos - UAI Fractales: Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos Juan Pablo Braña : juan.brana@gmail.com Marisa Rollieri: marisa.rollieri@vaneduc.edu.ar