¿Hay matemáticas en las pajaritas de papel? José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea Matematika Eguneroko Bizimoduan Bilbao, 22 de noviembre de 2007

Papiroflexia: pajaritas… ¡y mucho más! SUPERLÓPEZ

Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa) Se utiliza un único trozo de papel cuadrado; Sólo se puede plegar el papel; No se pueden realizar cortes; No se puede usar pegamento.

Modelos tradicionales Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel

León, leona y cría (David Brill, Lancaster, Inglaterra)

Mantis religiosa (Ronald Koh, Singapur)

Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

Rosa (Toshikazu Kawasaki, Japón)

Insectos (Robert Lang, California, EEUU)

Leonardo (Saadya Sternberg, Breesheva, Israel)

MÚSICOS (Eric Joisel, París, Francia) Clarinetista ¡Hoy es Santa Cecilia!

Bandoneón

Trombón Percusionista

Saxofonista Flautista

Violinista

Phoenix (Satoshi Kamiya, Nagoya, Japón)

Dragón (Shatoshi Kamiya)

Stegosaurus (Fumiaki Kawahata)

Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata) ¿Error de diseño?

¡Diseño correcto! May the Force be with you…

Máscara de Guy Fawkes y Rosa (Michael Chan)

Tomoko Fuse

Pájaro aleteador

Origami Ori = Doblar Kami= Papel

“Un mago convierte hojas de papel en pájaros” Grabado en madera japonés de 1818.

“Senbazuru Orikata” Japón, 1789

Escudo del Colegio Mayor Miguel de Unamuno (Bilbao) Miguel de Unamuno (Zuloaga, 1925)

Miguel de Unamuno (Solana, 1933)

Akira Yoshizawa (1911-2005)

Akira Yoshizawa

Elefantes (Akira Yoshizawa)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Matemáticas Papiroflexia Diseño de figuras con métodos matemáticos Figuras geométricas de papiroflexia Herramienta pedagógica Problemas clásicos …

Métodos matemáticos de diseño

Proceso de creación

Caballo (Saadya Sternberg)

Proyección sobre la base de un modelo plano Mapa de cicatrices y base correspondiente

La sabiduría popular resuelve el problema de Kepler Foto: Ana Raposo (Lugo)

Empaquetado de círculos (circle packing) Langosta (R. Lang)

Treemaker de Robert Lang

Teorema del árbol de Lang

Figura diseñada con Treemaker

Origag (Roberto Morassi, 1984)

TESELACIONES Teselación hexagonal (Joel Cooper)

Nabucodonosor (Joel Cooper)

Rostro con barba (Joel Cooper)

Rostro sonriente (Joel Cooper)

rostros (Joel Cooper)

Poliedros Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen: cada lado de cada cara es compartido con otra cara; en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si: -sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. -(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

Icosaedro truncado, cuestión de estado.

El balón de la Champions Pentágonos Triángulos ¿Cuadrados?

Papiroflexia modular Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) El interés para con las matemáticas es doble: representación de poliedros y otras figuras; la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.

Clases de módulos Por vértices; por aristas; por caras.

Dualidad de poliedros

Dualidad icosaedro-dodecaedro

Dualidad cubo-octaedro

Juan Pedro Rubio (Madrid) Poliedros M.C. Escher Juan Pedro Rubio (Madrid)

Teoremas de papel Teoremas del triángulo

Trisección del ángulo con Origami Método de Hisashi Abe

Axiomática de Humiaki Huzita

New York Journal of Mathematics, 2000

Eskerrik asko! Para saber más… http://www.ehu.es/joseroyo http://www.pajarita.org (A.E.P.) http://www.divulgamat.net (cultura => matemáticas y papiroflexia)