SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS METODOS Prof. JOSE AROCHA LUNA 2011 SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS METODOS

Menú Clasificación de sistemas lineales Resolución gráfica Resolución analítica: Igualación Sustitución Reducción Determinante Grafico

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Clasificación DETERMINADO COMPATIBLE INDETERMINADO SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INCOMPATIBLE

ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA a x + b y = c

a x + b y = c La ecuación tiene dos incógnitas o valores desconocidos x, y Y en cada caso particular las literales a, b, y c son valores constantes conocidos.

a x + b y = c EJEMPLO: 2 x – 3 y = 4 Los valores constantes son a = 2, b = -3 y c = 4 Las incógnitas son x, y

MÉTODO DE IGUALACIÓN

En este caso se despejó la “y” de ambas ecuaciones Método de Igualación Dado el sistema: Debemos despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones: Luego, debemos igualar las ecuaciones y se resuelve: Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el valor de la otra incógnita reemplazando, la hallada, en alguna de las ecuaciones: En este caso se despejó la “y” de ambas ecuaciones Sólo resta graficar el sistema

Resuelve por el método de igualación: –14 – 4y 5x + 4y = –14 ––––––– 5 14 + 8y 14 + 8( ) –1 –3x = 14 + 8y x = –––––– x = ––––––––– –3 –3 –14 – 4y 14 + 8y 14 – 8 ––––––– = –––––– x = ––––– 5 –3 –3 6 –3(–14 – 4y) = 5(14 + 8y) x = –– –3 + 42 + 12y = 70 + 40y x = –2 12y – 40y = 70 – 42 – 28y = 28 28 y = ––– –28 y = –1 Hay que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo la x. Se igualan las dos fórmulas obtenidas. Para quitar los denominadores se multiplica en cruz (dos fracciones son equivalentes si al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado). El valor de la otra incógnita se obtiene con cualquiera de las dos fórmulas que tenemos. Volver al menú

MÉTODO DE SUSTITUCION

En este caso se despejó la “y” de ambas ecuaciones Método de Sustitución Dado el sistema: Debemos despejar una incógnita de una de las ecuaciones: Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el valor de la otra incógnita reemplazando, la hallada, en la otra ecuación: Luego, debemos reemplazar el valor en la otra ecuación y se resuelve: En este caso se despejó la “y” de ambas ecuaciones Sólo resta graficar el sistema

Resuelve por el método de sustitución: 4 – 3x 4 – 3( ) –2 3x + 2y = 4 4 – 3( ) –2 3x + 2y = 4 5x – 3y = –25 2y = 4 – 3x y = ––––– y = –––––––– 2 2 4 + 6 4 – 3x y = ––––– 5x – 3 ––––– = – 25 – 2 2 1 10 12 – 9x y = –– 5x – –––––– = – 25 2 –– 2 –– 1 1 m.c.m. = 2 y = 5 2·5x – 1(12 – 9x) – 2·25 –––––––––––––– = –––––– 2 2 10x – 12 + 9x = – 50 10x + 9x = – 50 + 12 19x = – 38 –38 x = ––– 19 x = –2 Hay que despejar una incógnita de una de las ecuaciones que no tenga coeficiente negativo, por ejemplo la y de la primera ecuación. Ahora se sustituye la fórmula obtenida en la otra ecuación. Hay que quitar el paréntesis multiplicando el 3 (sin el signo) por la fracción. El signo menos se copia y se multiplican las dos fracciones. Se escribe todo en forma de fracción y se saca m.c.m. de los denominadores. Falta calcular el valor de y. Se cambia el valor de x en la fórmula de y. Volver al menú

MÉTODO DE REDUCCION

Se cambian de orden y uno de ellos de signo. Método de reducción +6 5 3 11x + 6y = 10 –6x + 9y = 15 66x + 36y = 60 11x + 6 · –– = 10 11 –66x + 99y = 165 30 3 11x + –– = 10 + 135y = 225 11x + 10 = 10 225 :5 45 :9 5 y = ––– ––– = –– –– = – 11x = 10 – 10 135 :5 27 :9 3 11x = 0 10 x = –– = 0 –9 11x + 6y = 10 –6x + 9y = 15 –99x – 54y = –90 +6 –36x + 54y = 90 –135x = 0 x = –––– = 0 –135 Hay que eliminar una de las incógnitas sumando las ecuaciones pero antes hay que prepararlas. Vamos a eliminar la letra x . Hay que observar los coeficientes de esta letra. Se cambian de orden y uno de ellos de signo. Ahora se multiplica la primera ecuación por +6 y la segunda por 11. Sumamos las ecuaciones para eliminar las x. Se calcula el valor de x sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de partida. También se puede calcular x eliminando las y. Volver al menú

MÉTODO POR DETERMINANTES

MÉTODO POR DETERMINANTES También se como conoce como “Regla de Cramer”. Veremos a continuación este otro método para darle solución a un sistema de ecuaciones de 2x2. Para este, primero veremos las formas generales que lo representa, para después solamente tomarlos y sustituir. Relativamente, este es menos “tedioso” que los otros. Veámoslo:

Método por determinantes FORMAS GENERALES Partamos de la forma general para un sistema de ecuaciones de 2x2: Donde: “x” y “y”, son las incógnitas y “a”, “b”, “c”, “d”, “r” y “s”, son número reales.

Método por determinantes Así, pues, tenemos lo siguiente: No vamos a detenernos en cómo se llegan a las formas generales, solamente las mencionaremos. Necesitamos tener el DETERMINANTE GENERAL, éste es el siguiente: Lo único que le falta es que, esta operación se resta, así pues, queda como se muestra: Para resolverlo, solamente se multiplica cruzado, dándonos como resultado lo siguiente:

Método por determinantes Ahora, necesitamos sacar el determinante de la variable “x”, ésta se saca de la siguiente forma: Y el determinante de la variable “y”, ésta se saca de la siguiente forma:

Método por determinantes Podemos simplificarlo de la siguiente forma: Ahora, nos resta regresar a nuestro problema, tomar ambas ecuaciones y sustituir para encontrar sus valores:

Método por determinantes Los valores correspondientes a cada letra son: a = 10 b = 4 c = 3 d = 5 r = 62 s = 30 Así, pues, tenemos lo siguiente:

Método por determinantes PROCEDIMIENTO PASO 1: Calculamos el determinante general, quedándonos de la siguiente manera: PASO 2: Ahora, calculemos el determinante “x”:

Método por determinantes PASO 3: Ahora, calculemos el determinante “y”: PASO 4: Una vez teniendo ya los resultados, los SUSTITUYO en las formas generales para “x” y para “y”:

Método por determinantes PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:

MÉTODO DE GRAFICO

Resolución Gráfica Dado el sistema: Debemos llevar cada una de las ecuaciones del sistema a la forma explícita: para luego, poder graficarlas en un mismo sistema de ejes cartesianos. A modo de ejemplo sólo se despejará una de las ecuaciones. La otra queda como ejercitación. Luego armamos las tablas de valores correspondientes (de cada recta) para encontrar los puntos de cada recta: Finalmente, armamos el gráfico:

Resolución Gráfica 2x + y = 6 x – 2y = 8 y = 6 – 2x 8 – x – 2y = 8 – x –––– –2 x y x y –2 3 7 6–2·(–2) = 6 + 4 = 10 8 – (–3) –2 8 +3 –2 11 –2 salen decimales –3 –4 = = 6–2·3 = 6 – 6 = 0 6–2·7 = 6 – 14 = –8 8 – (–4) –2 8 + 4 –2 12 –2 = = = –6 x = y = 4 –2 8 – 0 –2 8 –2 = = –4 8 – 6 –2 2 –2 6 = = –1 Hay que representar cada ecuación. Despejamos la letra y en la primera ecuación. Hay que hacer una tabla de valores para obtener tres puntos de la recta. Se eligen tres números (mejor que no sean consecutivos). Se sustituyen estos tres números en la fórmula de y. Se representan los puntos obtenidos. Con la regla se traza la recta que ha de pasar perfectamente por los tres puntos. Se hace lo mismo con la otra ecuación. Se eligen los tres valores de x que no provoquen decimales al calcular y. La solución del sistema se obtiene de las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. Volver al menú

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Este sistema de ecuaciones admite una ÚNICA solución Un ejemplo de SCD es el siguiente sistema Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos dos rectas que se intersecan en un solo punto: Resolviendo el sistema analíticamente (por cual- quier método) obtenemos como solución:

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Este sistema de ecuaciones admite INFINITAS soluciones Un ejemplo de SCI es el siguiente sistema Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes en todos sus puntos: Resolviendo el sistema analíticamente (por cual- quier método) obtenemos una igualdad: Esto nos indica que tenemos infinitas soluciones que verifican este sistema.

Este sistema de ecuaciones NO admite solución SISTEMA INCOMPATIBLE Este sistema de ecuaciones NO admite solución Un ejemplo de SCI es el siguiente sistema Resolviendo el sistema gráficamente obtenemos dos rectas paralelas: Resolviendo el sistema analíticamente (por cual- quier método) obtenemos un absurdo: Esto nos indica que NO tenemos solución que verifique este sistema.

––––––––––––––––––––––– ––––––– ––––––––––––––––– –––––––– Si la mitad del número verde es igual al triple del amarillo menos 3, el amarillo es más rápido que el verde, los dos suman 29, y el verde es más espabilado que el amarillo, ¿sabrías decir cuáles son estos dos números? ––––––––––––––––––––––– ––––––– ––––––––––––––––– –––––––– –––––––––––––––– x = número verde x 2 x 2 3y 1 3 1 – = 3y – 3 – = –– – – y = número amarillo x + y = 29 x 2·3y – 2·3 – = ––––––––– 2 2 x = 6y – 6 x = 6y – 6 x = 6·5 – 6 x + y = 29 6y – 6 + y = 29 x = 30 – 6 6y – 6 + y = 29 x = 24 6y + y = 29 + 6 7y = 35 35 7 y = –– y = 5 x e y son los números que se piden. Se van leyendo las condiciones y se van traduciendo al lenguaje algebraico. Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso interesa por sustitución ya que tenemos despejada la letra x. Volver al menú

x = número de monedas de 0’50€ y = número de monedas de 0´20€ En el bolsillo derecho de mi chaqueta gris tengo diez monedas, que todas juntas suman 3´20€. ¿Sabrías decirme cuántas son de medio euro y cuántas de veinte céntimos de euro? x = número de monedas de 0’50€ y = número de monedas de 0´20€ x + y = 10 x = 10 – y 3´20 – 0´20y 0´50x + 0´20y = 3´20 0´50x = 3´20 – 0´20y x = –––––––––– 0´50 3´20 – 0´20y 10 – y = ––––––––––– 0´50 0´50(10 – y) = 3´20 – 0´20y x = 10 – 6 5 – 0´50y = 3´20 – 0´20y x = 4 monedas de 0´50€ – 0´50y + 0´20y = 3´20 – 5 – 0´3y = 1´8 1´8 y = ––– 0´3 y = 6 monedas de 0´20€ Llamamos x e y a lo que se pide calcular. Con el dato de las diez monedas se escribe una ecuación. Con el valor de las monedas se escribe otra ecuación. x monedas de 0´50€ valen 0´50·x y monedas de 0´20€ valen 0´20·y Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por igualación. Volver al menú

x = número de preguntas que has acertado Si en un examen tipo test de 40 preguntas has sacado un 7, ¿cuántas preguntas has acertado y cuántas has fallado si cada respuesta correcta vale 0´25 puntos y por cada respuesta errónea se resta 0´05 puntos? x = número de preguntas que has acertado y = número de preguntas que has fallado 0´25 x + y = 40 0´25x + 0´25y = 10 x + 10 = 40 –1 0´25x – 0´05y = 7 –0´25x + 0´05y = –7 x = 40 – 10 0´30y = 3 x = 30 acertadas 3 y = –––– 0´30 y = 10 falladas Llamamos x e y a lo que se pide calcular. Con el dato de las 40 preguntas se escribe una ecuación. Con las puntuaciones se escribe otra ecuación. Todas las respuestas correctas valen 0´25·x y todas las incorrectas restan 0´05·y Se resuelve el sistema por cualquier método. Por ejemplo por reducción. Volver al menú

¡EUREKA! ¡ESTAMOS BIEN! ¡Y POR FIN TERMINAMOS! ¡FELICIDADES! Gracias…