Desarrollo de Videojuegos Ma.Elena Melón Jareda ITESM-CEM Departamento de Sistemas de Información y Computación Colocación de guardias

Introducción Victor Klee alguna vez preguntó: ¿Cuántos guardias estacionarios (o cámaras) se requieren para vigilar una sala de exposiciones? Claro está que los guardias no pueden ver a través de las paredes… por si alguien tenía duda…

Introducción Para solucionar el problema daremos por hecho dos cosas:  La planta de la sala de exposiciones es un polígono cualquiera.  Las paredes de la sala son completamente verticales (forman un ángulo de 90° con el piso).

Se dice que x puede ver a y si todos los puntos del segmento xy están dentro del polígono. Cada guardia se representaría con un punto. Un conjunto de guardias cubre la vigilancia de la sala si todos los puntos del polígono son visibles para al menos 1 guardia. Visibilidad x y

Mínimos ¿Cuántos guardias se requieren para un polígono de n vértices? ¿Hay una función en términos de n? ¿Podría haber un número infinito de guardias?

Mínimos Al menos se requiere 1 guardia. N guardias vigilarían todo el polígono, uno en cada vértice (se cumple en 2D). Cada triángulo requiere 1 guardia. ¿Cuántos en un cuadrilátero, etc.?

Vértices “cóncavos” y “convexos” Un vértice es “cóncavo” o “reflex” si su ángulo interno es mayor que pi, de lo contrario es “convexo”. vértice cóncavo vértice convexo

Vértices “cóncavos” y “convexos” Un cuadrilátero puede tener 1 vértice “cóncavo” y por lo tanto 1 guardia colocado en él. Un pentágono puede tener 2 vértices “cóncavos” y sólo necesitar 1 guardia. Un hexágono puede requerir 2 guardias. Siguiendo la experimentación… Se requieren siempre n/3 (a continuación la demostración)

La prueba de Fisk—Paso 1 La prueba de Fisk comienza dividiendo un polígono en triángulos (trazando diagonales). Una diagonal es un segmento de línea que va de un vértice a a un vértice b de modo que cada uno sea claramente visible al otro.

La prueba de Fisk—Paso 1 Dos diagonales no se cruzan si comparten a lo más sus puntos extremos. Si se añaden tantas diagonales que no se crucen como sea posible, entonces el polígono queda particionado en triángulos. En general, hay varias maneras de triangular un polígono.

La prueba de Fisk—Paso 1 Es un hecho que todos los polígonos pueden ser triangulados, no importa que tan complejos sean. Un polígono P de n vértices usa n-3 diagonales y consiste de n-2 triángulos.

La prueba de Fisk—Paso 1 Paso 1 – Triangular el polígono

La prueba de Fisk—Paso 2 Una vez dividido un polígono se trabaja con el grafo G asociado con la triangulación. Los arcos de G son las aristas y las diagonales del polígono. Los nodos de G son los vértices del polígono.

La prueba de Fisk—Paso 2 Lo que hay que hacer ahora con el grafo G es asignar k colores a los nodos del grafo sin que dos nodos conectados por un arco tengan el mismo color. Fisk afirma que cualquier grafo de una triangulación debe poderse colorear con 3 colores.

La prueba de Fisk—Paso 2 Paso 2 – Colorear el grafo

La prueba de Fisk—Paso 3 Si se coloca 1 guardia en cada vértice del mismo color se cubre todo el polígono. Con esto se asegura que se tiene 1 guardia por triángulo.

La prueba de Fisk—Paso 4 “Si n objetos son colocados en k cajas, al menos una caja debe contener no más de n/k objetos.” En este caso los n objetos son los n nodos y k son los 3 colores. Un color no puede ser usado más de n/3 veces.

La prueba de Fisk—Paso 4 Finalmente: Coloca guardias en los vértices coloreados con el color menos usado. Con esto se garantiza que se tendrá el menor número de guardias que pueden vigilar todo el polígono.

La prueba de Fisk—Paso 3 y 4 Pasos 3 y 4 – Colocar guardias en el color menos usado

Ejemplo Sala vigilada por 4 cámaras