Implementación del Algoritmo de ElGamal Melesio Márquez Oropeza Alba M. Sánchez Gálvez Facultad de Ciencias de la Computación

Criptografía con Curvas Elípticas Conceptos Criptografía de Llave pública tipo ElGamal Implementación Resultados Consideraciones Finales

(Ecuación reducida de Weierstrass) Curva Elíptica Se define por medio de una ecuación: E: y2 = x3 + ax + b (Ecuación reducida de Weierstrass) Los coeficientes a,b pueden ser números Reales o estar en un campo finito de orden p GF(p).

Campos Finitos

Campos Finitos

Curva Elíptica (y2 = x3 + ax + b) Si se cumple que: 4a3 + 27b2 ≠ 0 Entonces E define un grupo abeliano G(E) Se definen 2 Operaciones : Adición y multiplicación

Curva Elíptica (y2 = x3 + ax + b) Suma: método de la cuerda y tangente

Curva Elíptica (y2 = x3 + ax + b) Multiplicación (método binario)

Criptografía con Curvas Elípticas Conceptos El algoritmo de ElGamal Implementación Resultados Consideraciones Finales

Criptografía de Llave Pública

Problema del Logaritmo Discreto (ELDP) La seguridad de CCE depende de la dificultad del ECDL: Sean P y Q dos puntos en una curva elíptica, tales que: kP = Q, donde k es un escalar. Dados P y Q, no es factible computacionalmente obtener k, si k es lo suficientemente grande. k es llamado el logaritmo discreto de Q en la base P.

Criptosistema ElGamal Se establece una curva E sobre un campo finito Fp Se elige un entero s y se elige un punto P Calcular B = sP Los puntos P,B, Fp y la curva E forman la clave pública

Criptosistema ElGamal

Criptosistema ElGamal 1) Se obtiene la Clave Pública del receptor 2)Se convierte el mensaje a un punto ME(Fp) 3)Se elige un entero aleatorio k y se calcula M1 = kP 4)Calcular M2 = M + kB 5)Se envían M1 y M2 al receptor

Criptosistema ElGamal Para obtener el mensaje: M = M2 – sM1 Lo anterior funciona ya que : M2 – sM1 = (M + kB) – s(kP) = M + skP – skP = M

Criptosistema ElGamal Los puntos M1 y M2 son públicos Si se puede calcular el logaritmo discreto, se puede utilizar P y B para encontrar s (la clave Privada) Se utiliza s para obtener el mensaje haciendo: M = M2 - kB

Criptosistema ElGamal Es importante generar un k aleatorio distinto para cada mensaje Si tenemos M y M’ , y encriptamos utilizando el mismo numero k  M1 = M1’ Se calcula M2’ – M2 = M’ – M Si conocemos M, entonces: M’ = M – M2 + M2’

Ataques conocidos Búsqueda exahustiva – Calcular sucesivamente los multiplos de P: 2P, 3P, … hasta obtener Q Puede tomar hasta n pasos, (n es el orden de la Curva)

Ataques conocidos POLLARD’S RHO ALGORITHM. Versión aleatorizada del Baby-step Gigant step pasos

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Protocolo Criptográfico Arquitectura CRIPTOSISTEMA Aritmética en E(Fp) Codificador Mensaje Protocolo Criptográfico

Diagrama de clases Aritmética Curva Punto

Diagrama de clases ElGamal

Implementacion Aritmetica Librería JAVA : BigInteger Funciones de soporte para aritmética de precisión arbitraria. Ej.

Implementación Aritmética Archivo que contiene los parámetros de una curva

Curvas recomendadas por NIST

Implementacion El Gamal Constructor de Clase: La aritmética es transparente al algoritmo

Implementación Cifrador Convertir una cadena de texto a elemento de Fp: M - es el mensaje convertido a elemento de Fp L -es el tamaño del alfabeto Ci – El carácter i-ésimo de la cadena

Implementación

Implementación

Implementación

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Tiempos de ejecución

Conclusiones La importancia de separar los componentes de un criptosistema basándonos en el paradigma POO. Flexibilidad de las librerías de JAVA para la implementación de la aritmética Posibilidad de extender el criptosistema agregando módulos

!!GRACIAS!!