PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. VECTOR DE POYNTING PROBLEMA 2. POTENCIAL VECTOR PROBLEMA 3. AUTOINDUCCIÓN Y ENERGÍA PROBLEMA 4. CORRIENTES DE IMANACIÓN PROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO BIBLIOGRAFÍA Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM C.A. UNED Albacete Marzo 2015

PROBLEMA 1. VECTOR DE POYNTING. Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar: (a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del solenoide. (b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico. (c) ¿Se verifica el teorema de Poynting? PROBLEMA 2. POTENCIAL VECTOR. Una esfera de radio R = 10 cm tiene densidad de carga constante (r = 10-6 C/m3) y gira en sentido antihorario alrededor del eje Z (w = 10 rad/s). Situada en el plano z = 20 cm hay una espira circular de radio a = 15 cm, la cual está centrada en el eje Z. Se pide: (a) Calcular el dipolo magnético equivalente a esta esfera. (b) Calcular el potencial vector magnético en cualquier punto de la espira. (c) Calcular el flujo magnético a través de la espira. PROBLEMA 3. AUTOINDUCCIÓN Y ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO. Un toroide de sección rectangular cuyas dimensiones aparecen al pie de la figura está construido con un material magnético lineal de permeabilidad m = 100 m0. Alrededor del toroide hay un bobinado de 640 espiras conductoras uniformemente distribuidas. (a) Calcular los campos H y B. (b) Determinar el coeficiente de autoinducción del toroide. (c) Calcular la energía almacenada cuando circula una corriente de 500 mA por el bobinado.

PROBLEMA 4. CORRIENTES DE IMANACIÓN. Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, el cual está hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes de imanación en el tubo. PROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO. El circuito magnético de la figura está alimentado por una corriente I = 8,5 A que circula por un bobinado de N = 400 vueltas enrollado alrededor de la rama izquierda. Usando los datos geométricos que aparecen junto a la figura, calcular: SA = 10 cm2 SB = 16 cm2 dA = 4 mm dB = 1 mm Lab = 80 mm Lbc = 120 mm Lcd = 120 mm (a) Las reluctancias en las ramas de este circuito. (b) El flujo magnético en cada rama. (c) Los campos B y H en los entrehierros. Permeabilidad relativa del material magnético mr = 4000 (d) Si dispusiéramos de un material magnético de permeabilidad arbitrariamente grande para construir este circuito, ¿en qué porcentaje podríamos aumentar el valor de los campos B y H en los entrehierros?

Al tratarse de un solenoide muy largo el campo magnético es PROBLEMA 1 (a) Cálculo del campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio. Puesto que hay una corriente variable, se generará un campo magnético variable y una variación de flujo magnético en el solenoide, y tendremos un campo eléctrico inducido de acuerdo con la ley de Faraday. Al tratarse de un solenoide muy largo el campo magnético es S es el area encerrada por C Cálculo de la derivada del flujo magnético a través de un círculo de radio r Consideramos que el sentido positivo para es , lo cual a su vez implica que consideramos positivo el sentido de giro antihorario. Si la derivada del flujo magnético es n espiras por unidad de longitud: si hay N espiras en la longitud L  Si la derivada del flujo magnético es (solo hay flujo dentro del solenoide)  Cálculo del campo eléctrico inducido a lo largo de una circunferencia de radio r Por la simetría cilíndrica del problema, el campo eléctrico inducido debe estar dirigido según la dirección tangente

Variación flujo magnético Fuerza electromotriz Si PROBLEMA 1 continúa apartado (a) Variación flujo magnético Fuerza electromotriz Si la derivada del flujo magnético es Si la derivada del flujo magnético es (solo hay flujo dentro del solenoide) Campo eléctrico inducido: Si Si Interpretación del resultado: como el campo magnético disminuye con el tiempo, lo cual debilita el flujo magnético, el campo eléctrico inducido tiene sentido antihorario, porque de esa manera se opone a la disminución de flujo magnético. Si Si Si

Campo PROBLEMA 1 Apartado (b) Vector de Poynting para r = R ¡No confundir con la superficie S a través de la que hemos calculado el flujo antes! El módulo del vector de Poynting nos da la densidad de potencia (potencia a través de la unidad de superficie) en la dirección En nuestro caso, su significado es la energía que sale por segundo y por metro cuadrado a través de la superficie lateral del solenoide: véase que la energía contenida en el volumen del solenoide disminuye a medida que decrece la intensidad de corriente que origina el campo magnético dentro del solenoide, ya que la energía por unidad de volumen (densidad de energía) está dada por (J·m-3 en el S.I.)

PROBLEMA 1 Apartado (c) Teorema de Poynting para r = R Debemos comprobar si el flujo del vector de Poynting a través de la superficie lateral de radio R y altura L (una “rodaja” del solenoide) coincide o no con la variación temporal de la energía almacenada por unidad de volumen en su interior. Flujo del vector de Poynting a través de la superficie lateral de área Variación por unidad de tiempo de la energía almacenada en el volumen Teorema de Poynting: Verificado

PROBLEMA 1 Densidad de energía dentro del solenoide RESULTADOS NUMÉRICOS Flujo de energía a través de la superficie lateral (por unidad de longitud) Pérdida de energía a través de la superficie lateral (por unidad de longitud)

Densidad de carga uniforme r PROBLEMA 2 (a) Cálculo del momento dipolar magnético Coordenadas esféricas Esfera giratoria cargada Densidad de carga uniforme r  Elemento de volumen con carga r dV’ El movimiento circular de cada elemento de volumen constituye una corriente cuya magnitud será proporcional a la velocidad lineal del elemento de volumen cargado (los más próximos al eje se mueven con menor velocidad). La suma de todas esas corrientes produce un momento magnético en el origen de coordenadas cuyo valor es Ecuador de la esfera igual dirección Vista desde arriba

(a) Cálculo del momento dipolar magnético (cont) PROBLEMA 2 Integral a calcular: Sustituir Componente X nula Componente Y nula Componente Z no nula 10

Líneas del campo B alrededor de la esfera rotante (a) Cálculo del momento dipolar magnético (cont) PROBLEMA 2 Resultado: (b) Cálculo del potencial vector en cualquier punto de la espira Potencial vector magnético a la distancia r del dipolo Vista desde fuera, la esfera rotante se comporta como un dipolo cuyo momento magnético es el calculado antes Líneas del campo B alrededor de la esfera rotante 11

(c) Cálculo del flujo magnético a través de la espira PROBLEMA 2 Una vez hemos calculado el potencial vector en cada punto de la espira, aplicamos el teorema de Stokes y obtendremos así la integral de superficie (el flujo magnético) a partir de la integral de línea de ese potencial vector (ya que el potencial vector es el rotacional del campo magnético ). Resultados numéricos apartados (b), (c) 12

LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO APÉNDICE PROBLEMA 2 LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO

LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO APÉNDICE PROBLEMA 2 LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO Líneas de campo

LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO APÉNDICE PROBLEMA 2 LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO Líneas de campo

LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO APÉNDICE PROBLEMA 2 LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO Líneas de campo

LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO APÉNDICE PROBLEMA 2 LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO Líneas de campo Igual módulo del potencial vectorial Potencial vectorial entrante (mitad derecha) Potencial vectorial saliente (mitad izquierda)

CAMPO MAGNÉTICO DE UN DIPOLO ORIENTADO DIRECCIÓN Z. PUNTO LEJANO APÉNDICE PROBLEMA 2 CAMPO MAGNÉTICO DE UN DIPOLO ORIENTADO DIRECCIÓN Z. PUNTO LEJANO Plano XY

APÉNDICE PROBLEMA 2 LÍNEAS DE CAMPO DE UN DIPOLO MAGNÉTICO. PUNTO LEJANO Cuando Cuando La componente radial es de sentido contrario a

circunferencia de radio r que encierra la corriente neta N·I, siendo PROBLEMA 3 (a) Cálculo de los campos H y B. El campo H en el interior del toroide puede calcularse aplicando el teorema de Ampère: cuando circula la intensidad I, la corriente total es N·I, y las líneas de campo son circulares. El vector H es tangente a ellas en cada punto: su única componente es de módulo constante y su dirección es la de es el elemento de longitud de C es la corriente encerrada por la línea C Línea C circunferencia de radio r que encierra la corriente neta N·I, siendo Módulo Vector Vector (b) Cálculo de la autoinducción. Calculamos primero el flujo de B a través de Flujo total (N espiras en el toroide) Autoinducción:

PROBLEMA 3 (c) Energía almacenada * Cálculo a partir de la autoinducción * Cálculo a partir de los campos Resultados

PROBLEMA 4 a) Cálculo de campos H, B y M alrededor del filamento. 1. r1 < a 2. a  r2  b 3. r3 > b Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1 a b I Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario r2 r1 Región 2. a  r2  b Dentro del material magnético

PROBLEMA 4 a) Continuación. (A/m2) (A/m) b) Corrientes de imanación Región 3. r3 > b Véase que en la región 2 la forma de M es Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z. a b El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2 respecto a z es cero. I r3 El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero. r2 r1 Véase que No hay corrientes volumétricas de imanación

Densidades de corrientes superficiales de imanación PROBLEMA 4 Densidades de corrientes superficiales de imanación a b I En r2 = a Sobre la cara interna r2 = a En r2 = b Sobre la cara externa r2 = b Corrientes de imanación Superficie interna Superficie externa

Corrientes de imanación PROBLEMA 4 Resumen a b I Sobre la cara interna r2 = a Sobre la cara externa r2 = b Corrientes de imanación Superficie interna Superficie externa

(a) Las reluctancias en las ramas de este circuito. PROBLEMA 5 El circuito magnético de la figura está alimentado por una corriente I = 8,5 A que circula por un bobinado de N = 400 vueltas enrollado alrededor de la rama izquierda. Usando los datos geométricos que aparecen junto a la figura, calcular: SA = 10 cm2 SB = 16 cm2 dA = 4 mm dB = 1 mm Lab = 80 mm Lbc = 120 mm Lcd = 120 mm (a) Las reluctancias en las ramas de este circuito. (b) El flujo magnético en cada rama. (c) Los campos B y H en los entrehierros. Permeabilidad relativa del material magnético mr = 4000 (d) Si dispusiéramos de un material magnético de permeabilidad arbitrariamente grande para construir este circuito, ¿en qué porcentaje podríamos aumentar el valor de los campos B y H en los entrehierros? (a) Cálculo de reluctancias R1: lo que se encuentra a la izquierda de los puntos b, e sin incluir la rama central Circuito equivalente b c a donde R2: reluctancia de la rama central, desde b hasta e, incluyendo entrehierro A R3: reluctancia de la rama a la derecha de b y e, incluyendo entrehierro B f e d

(b) Cálculo de flujo magnético en cada rama. PROBLEMA 5 (cont.) SA = 10 cm2 SB = 16 cm2 dA = 4 mm dB = 1 mm Lab = 80 mm Lbc = 120 mm Lcd = 120 mm (b) Cálculo de flujo magnético en cada rama. Previamente calculamos la reluctancia del circuito, que será la de R1 en serie con la combinación R2 y R3 en paralelo entre si. Permeabilidad relativa del material magnético mr = 4000 Fuerza magnetomotriz del circuito: Ecuación circuito magnético (equivalente a ley de Ohm) La fuerza magnetomotriz es igual al flujo a través de la fuente multiplicada por la reluctancia equivalente del circuito b c a Las reluctancias R2 y R3 están en paralelo y forman un divisor de flujo: se puede hacer un cálculo análogo al de un divisor de corriente en un circuito óhmico. f d e Véase que

(c) Campos B y H en los entrehierros. PROBLEMA 5 (cont.) SA = 10 cm2 SB = 16 cm2 dA = 4 mm dB = 1 mm Lab = 80 mm Lbc = 120 mm Lcd = 120 mm (c) Campos B y H en los entrehierros. En los entrehierros siempre se produce un efecto de pérdida de flujo, pero nosotros lo consideraremos despreciable cuantitativamente. Líneas de flujo Entrehierro Campo Pérdidas de flujo Permeabilidad relativa del material magnético mr = 4000 (d) Si dispusiéramos de un material magnético de permeabilidad arbitrariamente grande para construir este circuito, ¿en qué porcentaje podríamos aumentar el valor de los campos B y H en los entrehierros? Véase que, para un área dada, los campos B y H son proporcionales al flujo, y el flujo en cada rama del circuito magnético es inversamente proporcional a su reluctancia. A su vez. la reluctancia disminuye al aumentar m. Por lo tanto, veamos cuales son los valores límites de las reluctancias R2 y R3 cuando m → .

1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill PROBLEMA 5 (cont.) (d) Si dispusiéramos de un material magnético de permeabilidad arbitrariamente grande para construir este circuito, ¿en qué porcentaje podríamos aumentar el valor de los campos B y H en los entrehierros? Repitiendo los cálculos para flujos y campos con estas reluctancias límite tenemos: D + + + + BIBLIOGRAFÍA LIBROS 1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill 2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa. 3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley. 4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall. LIBROS DE PROBLEMAS 1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill. 2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial. RECURSOS EN LA RED http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm