Tema: Semejanza “Criterios de semejanza de triángulos” UNIDAD: Geometría Tema: Semejanza “Criterios de semejanza de triángulos” Macarena Fica Estudiante en práctica de Pedagogía en Matemática

¡¡¡Pequeños y gigantes . . . . pueden ser semejantes …!!!

Figuras Semejantes . . . ????

¿Figuras Semejantes?

FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes cuando mantienen su “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño. Si son semejantes

NO son figuras semejantes

Por ser rectángulo todos sus ángulos son rectos y miden 90°. Semejanza: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes. Ejemplo: ¿Los siguientes rectángulos son semejantes? 5cm 2cm ¿Tienen sus lados homólogos (o respectivos) proporcionales? 10cm 4cm Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 •2 = 5 • 4 ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Por ser rectángulo todos sus ángulos son rectos y miden 90°. Al cumplirse las dos condiciones anteriores, podemos decir que los dos rectángulos son semejantes

Ejercicios Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Determina si estos rectángulos son semejantes.

Calcula sabiendo que los dos polígonos son semejantes Determina si los siguientes polígonos semejantes

¿son semejantes estos rectángulos? Si estos polígonos son semejantes. ¿Cuanto mide ?

¿Serán semejantes estos triángulos?

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. A A’ B B’ C C’     ’   ’    ’ ’  ’ ’ (*) Congruente= igual medida (**) Homólogo = misma posición en cada figura.

Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de “Criterios de semejanza de triángulos”

Existen tres criterios de semejanza de triángulos: AA ( ángulo - ángulo) LLL (lado – lado - lado) LAL (lado-ángulo-lado)

Primer criterio: AA Si los triángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, entonces los triángulos son semejantes. A´ B´ C’ A B C a´ a g´ g b´ b Es decir: Si a = a´ y b = b´ (de lo anterior se deduce que g = g´ ) Entonces: Δ ABC ~ Δ A´B´C´

¡ Si ! Ejemplo 1: ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 80° A B B 65° 35° 80° A B B A C ¡ Si ! C Porque al tener dos de sus ángulos correspondientes congruentes, cumplen con el criterio AA

Segundo criterio: LLL A´ B´ C’ A B C c c´ b b´ a a´ Es decir: b b´ a Si dos triángulos tienen los tres lados homólogos proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. A´ B´ C’ A B C c c´ b b´ a a´ Es decir: b b´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. a a´ = = = r c c´ Entonces: D ABC ~ D A´B´C´

Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 5 10 3,5 7 1,5 3 = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 y 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto : Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL

Tercer criterio: LAL A´ B´ C’ A B C a a´ y a = a´ a a´ c c’´ c´ Si dos triángulos tienen dos lados homólogos proporcionales y los ángulos comprendido entre ellos congruentes, entonces los triángulos son semejantes. A´ B´ C’ A B C a a´ y a = a´ a a´ c c’´ c´ Es decir, si: = Entonces: D ABC ~ D A´B´C´

Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 9 3 4 = 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos Por criterio LAL, se afirma que: Δ ABC ~ Δ DEF

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Ejercicio 1 Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. ΔABC: 8 cm, 10 cm, 12 cm Δ PQR: 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio 65 10 78 12 8 10 12 78 65 52 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 52 8 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

La razón de semejanza es 3 Ejercicio 2 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. 3 4 5 x y z Representamos la situación = 9 x 3 y 4 z 5 12 = =15 Luego, debe ocurrir: 3 1 Entonces: x 3 x = 3 · 3 = 9 = = = = 3 = 3 y 4 Escala de ampliación y = 4 · 3 =12 La razón de semejanza es 3 =3 z 5 z = 5 · 3 = 15 =3

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Ejercicio 3 Si los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente, y los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros, entonces ¿son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. 50 30 40 12 16 20 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 3016 = 480 y 4012 = 480 además 4020 = 800 y 1650 = 800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 12 40 16 50 20 = =

Entonces NO probar nada! Ejercicio 4 Prueba si los triángulos dados son semejantes Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 6  8 = 12 4 =48 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales = 4 8 6 12 Comprobemos que las medidas ángulos son congruentes Ambos ángulos miden 60° pero no se encuentra entre los lados homólogos proporcionales Entonces NO probar nada!

Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL Ejercicio 5 Prueba si los triángulos dados son semejantes Comprobemos que las medidas ángulos son congruentes 180º − 100º − 60º = 20º Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

Aplicación 1 Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema ubicando los datos en él) Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen ambos un ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo son congruentes. 4,5m x 3m 2m sombra poste El triángulo definido por el poste y su sombra con el triángulo formado por el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto: Formamos la proporción = 3 x 2 4,5 x = 3 • 4,5 2 = 6,75m de donde

Aplicación 2 ¿ ΔABC ~ ΔDBE? CAB y EDB son ángulos rectos. Durante la noche, Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don José, de pie junto al poste, es de 4 m. Si Miguel estima la altura de don José en 1,7 m, ¿cuánto medirá el poste? ¿ ΔABC ~ ΔDBE? CAB y EDB son ángulos rectos. CBA es el mismo EBD. criterio AA Formamos la proporción

Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ ΔDEC Demostración Afirmaciones Razones Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes

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