Prof. Pedro José Tineo Figueroa Unidad II: DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN FLUJO LAMINAR Prof. Pedro José Tineo Figueroa

OBJETIVO TERMINAL Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Determinar los perfiles de velocidad de fluidos en régimen laminar para configuraciones sencillas

OBJETIVO ESPECÍFICOS Interpretar el principio de balance de cantidad de movimiento. Identificar las condiciones límites. Aplicar el principio de balance de cantidadde movimiento para el cálculo del Perfil de Velocidades, Velocidad Media y Velocidad Máxima de Flujo. Determinar la ecuación de Hagen-Poiseuille. Inferir sobre la importancia de la aplicación del Balance de Cantidad de Movimiento y la ecuación de Hagen-Poiseuille en procesos específicos.

CONTENIDO Balance de Cantidad de Movimiento 2. Condiciones Límites 3. Perfil de Velocidades 3.1 Velocidad Media. 3.2 Velocidad Máxima. 3.3 Ecuación de Hagen-Poiseuille 3.4 Aplicaciones Bibliografía: Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987. Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill 2002. Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Balance de Cantidad de Movimiento Consideraciones: Para una delgada envoltura de fluido de un sistema geométricamente sencillo, con: Flujo Laminar. Estado Estacionario. Líneas de Corriente Rectilíneas. Se puede aplicar el siguiente balance: Velocidad de Entrada de Cantidad de Movimiento Velocidad de Salida de Cantidad de Movimiento Σfuerzas que Actúan Sobre el Sistema - + =

Balance de Cantidad de Movimiento La entrada y/o salida de cantidad de movimiento se debe a: Efecto Viscoso ó transporte. Convección ó movimiento global del fluido. Las fuerzas que se consideran son: La Presión que actúa sobre las superficies La Fuerza de Gravedad que actúa sobre todo el volumen.

Balance de Cantidad de Movimiento En general debe considerarse el siguiente procedimiento: Se escribe un balance de Cantidad de Movimiento sobre una envoltura de espesor finito. Se hace tender a cero el espesor y se aplica la definición de derivada para obtener una ecuación diferencial respectiva que describe la distribución de esfuerzo cortante. Se introduce la definición adecuada para el esfuerzo cortante. Por integración y aplicando las condiciones de borde se obtienen las distribuciones respectivas de vx y yx

Condiciones Límites Condiciones Límites ó de Borde : Interfase sólido-fluido: La velocidad del fluido se asume igual a la de la superficie (condición de no resbalamiento). Interfase líquido-gas: La densidad de flujo de cantidad de movimiento y por tanto el gradiente de velocidad en la fase líquida es muy pequeño y se supone igual a cero en la mayoría de los cálculos. Interfase líquido-líquido: Tanto  como dv/dy son continuas a través de la interfase, es decir, son iguales a ambos lados.

Perfil de Velocidades Como primer ejemplo se considera el flujo de una película descendente Este caso es aplicable a: torres de pared mojada, evaporación o adsorción de gases, aplicación de capas de pintura a rollos de papel, entre otros.

Perfil de Velocidades Considerando un tramo de longitud L, sin ondulaciones como el mostrado en la figura:

Perfil de Velocidades Suposiciones:  y  son constantes. Estado Estacionario. La región de la longitud L no esta afectada por las perturbaciones en los extremos (vz f(z)) Balance de Cantidad de Movimiento: Espesor del sistema: x. Límites: Plano z=0 y z=L Ancho: W ( en la dirección y) Velocidad de Entrada de Cantidad de Movimiento Velocidad de Salida de Cantidad de Movimiento Σfuerzas que Actúan Sobre el Sistema - + =

Perfil de Velocidades Entrada y salida de cantidad de movimiento por efecto viscoso: (LW)·xz|x – (LW)·xz|x+x Entrada Salida Entrada y salida de cantidad de movimiento por convección: W·x·vz(vz·)|z=0 – W·x·vz(vz·)|z=L Entrada Salida Fuerza de gravedad: L·W·x(·gcos()) Sustituyendo en el balance se obtiene: LW(xz|x – xz|x+x)+ Wx(vz2|z=0 – vz2|z=L)+LWxgcos = 0

Perfil de Velocidades Lim ((xz|x+x –xz|x)/x) = gcos x 0 Como vz ≠ f(z) se anulan el tercero y cuarto término y dividiendo por LWx y tomando el limite cuando x 0 se obtiene: Lim ((xz|x+x –xz|x)/x) = gcos x 0 El primer término es por definición la primera derivada de xz con respecto a x, obteniéndose la ecuación diferencial buscada: d(xz)/dx = gcos Al integrarla se obtiene: xz = gcos·x + C1

Perfil de Velocidades Al aplicar la condición de borde correspondiente a la interfase líquido-gas: C.B. 1: para x= 0 xz = 0 Se obtiene que C1 = 0, por lo tanto: xz = gcos·x Si el fluido es Newtoniano (xz = -·dvz/dx) al sustituir e integrar de nuevo se obtiene: vz = -(gcos·x2)/(2) + C2 Para obtener C2 se aplica la condición: C.B. 2: para x=  vz= 0 Obteniéndose finalmente el perfil de velocidades: vz = -g2cos/(2)·[1 – (x/)2]

Otros Parámetros Velocidad Máxima (vz,max): Evidentemente se obtiene para x=0; por tanto: vz,max= g2cos/(2) Velocidad Media ( ): Se obtiene mediante el siguiente cálculo: Velocidad Volumétrica de Flujo (Q): Se obtiene a partir de la velocidad media, ó por integración de la velocidad:

Otros Parámetros Espesor de la Película (): Se puede expresar en función de la velocidad media o la volumétrica: Componente z de la Fuerza F del fluido sobre la superficie: Se obtiene integrando el esfuerzo cortante sobre la interfase fluido-sólido:

Ecuación de Hagen-Poiseuille La ecuación de Hagen-Poiseuille: establece la relación que hay entre el flujo volumétrico y las fuerzas que originan dicho flujo en un tubo circular.

Ecuación de Hagen-Poiseuille Suposiciones:  y  son constantes. Estado estacionario. Tubo de longitud muy larga (L>>R) Balance de Cantidad de Movimiento: Espesor del sistema: r (coordenadas cilíndricas). Longitud L Entrada y salida de cantidad de movimiento por efecto viscoso: (2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r Entrada Salida Entrada y salida de cantidad de movimiento por convección: 2rrvz(vz )|z=0 – 2rrvz(vz·)|z=L Entrada Salida

Ecuación de Hagen-Poiseuille Fuerza de gravedad: 2rrLgz Fuerza de presión: 2rr(p0 – pL) Sustituyendo en el balance se obtiene: (2rLrz)|r – (2rLrz)|r+r + (2rrvz2)|z=0 – (2rrvz2)|z=L + 2rrLgz + 2rr(p0 – pL) = 0 Como el flujo es incompresible vz  f(z), anulándose el tercer y cuarto término y al dividir por 2rL y aplicando el límite cuando r → 0, se obtiene:

Ecuación de Hagen-Poiseuille Obteniéndose así la ecuación diferencial que describe el flujo en un tubo circular: Donde Pz = p + gz, y al integrar se obtiene: Como rz no puede ser infinito en el origen, C1 = 0; por tanto:

Ecuación de Hagen-Poiseuille Esta distribución se indica en la siguiente figura: En este caso la Ley de Viscosidad de Newton se expresa como:

Ecuación de Hagen-Poiseuille Sustituyendo e integrando se obtiene la siguiente ecuación general para la velocidad: Con la condición de borde en la pared de la tubería: para r = R vz = 0 Se obtiene la siguiente distibución de velocidades: Que corresponde a una distribución parabólica

Ecuación de Hagen-Poiseuille Velocidad máxima vz,max: tiene lugar para x = 0 Velocidad Media ( ): Velocidad Volumétrica de Flujo (Q): Este resultado es conocido como la “Ley de Hagen-Poiseuille”

Ecuación de Hagen-Poiseuille Componente z de la fuerza F que actúa sobre la superficie mojada de la tubería: Esto es válido solamente si el flujo es laminar, lo que ocurre para Re < 2000, con Re = D /, con D = 2R

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.” Anónimo