Recurrencia Programación II de enero de 2009

Recurrencia Un concepto es recursivo si está definido a partir de su mismo Cada definición recursiva tiene un caso base y un caso recursivo Una función recursiva llama a su misma con otros valores de entrada Mayor dificultad: encontrar la definición recursiva

Ejemplo: Factorial funcion Factorial(n:natural) devuelve natural si (n=0) entonces devuelve 1;caso base sino devuelve n*Factorial(n-1); fsi ffuncioncaso recursivo

Ejecución ¿Qué pasa cuando ejecutamos una función recursiva? –relacionado con la ejecución de programas en general –ayuda en la interpretación de funciones recursivas Vamos a estudiar un modelo simplificado de la máquina

La pila La máquina mantiene una pila para controlar la ejecución Cada elemento en la pila es un registro de activación Cuando el código entra en un bloque, se añade un elemento Cuando sale, se remueve Registro 4 Registro 3 Registro 2 Registro 1

Registro de activación Cada registro de activación contiene los siguientes componentes: –Parámetros –Variables locales/resultados intermedios –Resultado final Cada componente puede ser de valor o de referencia

Referencia Un parámetro, una variable o el resultado de una función puede ser de referencia –Ejemplo: puntero en C Una referencia no contiene el valor mismo En cambio, contiene la dirección a la ubicación en memoria donde halla el valor int c=5; int *d=&c; c 5 d

Ejemplo: Factorial Suponemos que queremos saber cuál es el resultado de Factorial(3) Usamos el modelo de la pila para analizar la llamada Factorial(3) Introducimos los registros de activación correspondientes

Ejemplo: Factorial Factorial(3)

Ejemplo: Factorial Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) Resultado

Ejemplo: Factorial Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) Resultado n 2 Factorial(n-1) Resultado

Ejemplo: Factorial n 1 Factorial(n-1) Resultado Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) Resultado n 2 Factorial(n-1) Resultado

Ejemplo: Factorial n 1 Factorial(n-1) Resultado n 2 Factorial(n-1) Resultado Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) Resultado n 0 Factorial(n-1) Resultado

Ejemplo: Factorial n 1 Factorial(n-1) 1 Resultado n 2 Factorial(n-1) Resultado Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) Resultado n 0 Factorial(n-1) Resultado

Ejemplo: Factorial n 1 Factorial(n-1) 1 Resultado Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) Resultado n 2 Factorial(n-1) 1 Resultado

Ejemplo: Factorial Factorial(3) n 3 Factorial(n-1) 2 Resultado n 2 Factorial(n-1) 1 Resultado

Ejemplo: Factorial Factorial(3) 6 n 3 Factorial(n-1) 2 Resultado

Ejemplo: Factorial Factorial(3) 6

Ejercicio 1.5 Escribir una función recursiva EsPrimo que devuelve si o no un número natural n es primo Usar la pila para interpretar el resultado de EsPrimo(5)

Ejercicio 1.5 funcion EsPrimo(n:natural) devuelve booleano devuelve Primo(n,2); ffuncion

Ejercicio 1.5 funcion Primo(n,k:natural) devuelve booleano si (k >= n) entonces devuelve cierto; sino si (n mod k = 0) entonces devuelve falso; sino devuelve Primo(n,k+1); fsi ffuncion

Ejercicio 1.5 EsPrimo(5)

Ejercicio 1.5 EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) Resultado

Ejercicio 1.5 EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) Resultado n 5 k 2 Primo(n,k+1) Resultado

Ejercicio 1.5 n 5 k 2 Primo(n,k+1) Resultado EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) Resultado n 5 k 3 Primo(n,k+1) Resultado

Ejercicio 1.5 n 5 k 3 Primo(n,k+1) Resultado n 5 k 2 Primo(n,k+1) Resultado EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) Resultado n 5 k 4 Primo(n,k+1) Resultado

Ejercicio 1.5 n 5 k 4 Primo(n,k+1) Resultado n 5 k 5 Primo(n,k+1) Resultado

Ejercicio 1.5 n 5 k 4 Primo(n,k+1) cierto Resultado n 5 k 5 Primo(n,k+1) Resultado

Ejercicio 1.5 n 5 k 3 Primo(n,k+1) cierto Resultado n 5 k 2 Primo(n,k+1) Resultado EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) Resultado n 5 k 4 Primo(n,k+1) cierto Resultado

Ejercicio 1.5 n 5 k 2 Primo(n,k+1) cierto Resultado EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) Resultado n 5 k 3 Primo(n,k+1) cierto Resultado

Ejercicio 1.5 EsPrimo(5) n 5 Primo(n,2) cierto Resultado n 5 k 2 Primo(n,k+1) cierto Resultado

Ejercicio 1.5 EsPrimo(5) cierto n 5 Primo(n,2) cierto Resultado

Ejercicio 1.5 EsPrimo(5) cierto

Ejercicio: Fibonacci La serie Fibonacci empieza por … Tiene una definición recursiva: F(0) = 1 F(1) = 1 F(n) = F(n-2) + F(n-1), n > 1

Fibonacci funcion F(n:natural) devuelve natural si (n <= 1) entonces devuelve 1; sino devuelve F(n-2)+F(n-1); fsi ffuncion

Ejercicio: Fibonacci Usar la pila para interpretar el resultado de F(4)

Ejercicio: Fibonacci F(4)

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) F(n-1) Resultado n 0 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 0 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 1 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) 1 Resultado n 1 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) 1 Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) F(n-1) Resultado n 1 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 1 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) F(n-1) Resultado n 0 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 0 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 1 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) 1 Resultado n 1 F(n-2) F(n-1) Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) 2 Resultado n 2 F(n-2) 1 F(n-1) 1 Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) n 4 F(n-2) 2 F(n-1) 3 Resultado n 3 F(n-2) 1 F(n-1) 2 Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) 5 n 4 F(n-2) 2 F(n-1) 3 Resultado

Ejercicio: Fibonacci F(4) 5

Tipos de recursividad RecursividadDirectaIndirecta Simple Múltiple F(x) G(x)F(x) G(x)F(x)

Recursividad indirecta Determinar si un número natural n es par –caso base: n = 0 es un número par –caso recursivo: n es par si n – 1 es impar Determinar si un número natural n es impar –caso base: n = 0 no es un número impar –caso recursivo: n es impar si n – 1 es par

Par e impar funcion Par(n:natural) devuelve booleano si (n = 0) entonces devuelve cierto; sino devuelve Impar(n – 1); fsi ffuncion funcion Impar(n:natural) devuelve booleano si (n = 0) entonces devuelve falso; sino devuelve Par(n – 1); fsi ffuncion

Tipos de recursividad RecursividadDirectaIndirecta Simple Factorial(n) Suma(V,i,n) Primo(n,k) Par(n) – Impar(n) Múltiple Fibonacci(n)

Transformación Todo algoritmo recursivo se puede transformar en un algoritmo iterativo (con bucles) Más difícil para recursividad múltiple y/o indirecto No obstante, para recursividad simple y directo hay una transformación general

Función recursiva funcion Recursiva(x:tipo) devuelve tipo si B(x) entonces devuelve S; sino devuelve F(x, Recursiva(T(x))); fsi ffuncion x: parámetrosT(x): llamada recursiva B(x): condiciónF(x,y): acción recursiva S: acción caso base

Función equivalente iterativa funcion Iterativa(x:tipo) devuelve tipo resultado  S; mientras no(B(x)) hacer resultado  F(x, resultado); x  T(x); fmientras devuelve resultado; ffuncion

Ejemplo: Factorial funcion Factorial(n:natural) devuelve natural si (n = 0) entonces devuelve 1; sino devuelve n*Factorial(n-1); fsi ffuncion x: nT(x): n - 1 B(x): n = 0F(x,y): n*y S: 1

Función equivalente iterativa funcion Factorial(n:natural) devuelve natural resultado  1; mientras no(n = 0) hacer resultado  n*resultado; n  n - 1; fmientras devuelve resultado; ffuncion

Ejemplo: Primo funcion Primo(n,k:natural) devuelve booleano si (k >= n) entonces devuelve cierto; sino si (n mod k = 0) entonces devuelve falso; sino devuelve Primo(n,k+1); fsi ffuncion x: n, kT(x): n, k+1 B(x): k >= nF(x,y): si (n mod k = 0) falso S: cierto sino y

Función equivalente iterativa funcion Primo(n,k:natural) devuelve booleano resultado  cierto; mientras no(k >= n) hacer si (n mod k = 0) entonces resultado  falso; sino resultado  resultado; n  n; k  k + 1; fmientras devuelve resultado; ffuncion