P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera1 Repaso de clase anterior Distribución Gaussiana, Cauchy, Uniforme y Exponencial.

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera2 Distribuciones de vectores aletorios Si X =(X 1,…,X d ) y t=(t 1,…,t d ) NOTACION: X ≤ t si y sólo si X i ≤ t i para i=1,…d. La función de distribución de X o función de distribución conjunta de X 1,…,X d es Las distribuciones vectoriales tienen propiedades similares, aunque no idénticas, a las distribucones reales F X (t) = P(X ≤ t ) para todo t

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera3 Por ejemplo: si X es de dimensión d=2, P(X  (a 1,a 2 ]x(b 1,b 2 ])= F X (a 2, b 2 ) - F X (a 1, b 2 ) - F X (a 2, b 1 )) + F X (a 1, b 1 ) = = ∆ 2 ((a 1,a 2 ]x(b 1,b 2 ]) (incremento doble de F X en el rectángulo) Gráficamente La generalización a dimensiones mayores es sencilla (paridad de subíndices)

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera4 Es importante observar que esto efectivamente marca una diferencia entre las propiedades de las distribuciones en dimensión1, con las de las distribuciones llamadas “multivariadas” ( en dimensiones iguales o mayores que 2). Por ejemplo si F(u,v)= 0 si u+v≤1 y F(u,v)= 1 si u+v>1, entonces es obvio que F es creciente en cada una de sus dos coordenadas, pero sus incrementos dobles no son siempre positivos ya que F(0.5,2)-F(0.5,1)-F(0,2)+F(0,1)= = -1<0

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera5 Caracterización de la independencia. OBSERVACION:Tanto el concepto de función de probabilidad como el de densidad no dependen en absoluto de la dimensión a)X 1,…X d independientes si y solo si conjunta se factoriza: F X 1,…,X d (t 1,…,t d )=F X 1 (t 1 )…F X d (t d ) b) En el caso AC, idem densidad conjunta c) En el caso discreto, idem función de probabilidad conjunta

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera6 Notacion: Se dice que X 1,…X d son iid si son independientes e idénticamente distribuídas (con igual distribución). En el curso aprenderemos a verificar si es plausible que una muestra de datos sea iid, ya que esa suposición separa la Estadística más clásica de la más reciente. Vamos ahora a ver un ejemplo muy sencillo en que la primera “i” de “iid “NO ES CIERTA y el “id” SI LO ES. Concretamente, veremos que en el muestreo de artículos de un control de calidad por atributo en un lote con proporción p de defectuosos, si X i = 1 si el i-ésimo articulo muestreado es defectuoso y X i = 0 si el i-ésimo articulo es bueno, entonces:

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera7 a)Si el muestreo es CON REPOSICION, X 1,…X n son iid con distribución Ber(p) b)Si el muestreo es SIN REPOSICION, X 1,…X n NO SON independientes aunque son idénticamente distribuídas con distribución Ber(p) Dejamos el caso a), más sencillo, como ejercicio, vamos al caso b). Llamemos D=pN la cantidad de defectuosos en el lote de tamaño N. Veremos que P(X i =1)=p para todo i=1,…,n pero que P( X 1 =1, X 2 =1) ≠P(X 1 =1) P(X 2 =1)

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera8 Para la primera condición veamos el caso n=2 ( el caso general es similar) P(X 2 =1)= P(X 2 =1/ X 1 =1) P(X 1 =1)+ P(X 2 =1/ X 1 =0) P(X 1 =0)= P(X 2 =1/ X 1 =1) p+ P(X 2 =1/ X 1 =0) (1-p)= (si X 1 =1, quedan D-1 defectuosos en un lote de N-1 y si X 1 =0, quedan D defectuosos en un lote de N-1 ) {p(D-1)/(N-1)}+ {(1-p)D/(N-1)}= (D-p)/(N-1)= (pN-p)/(N-1)= p(N-1)/(N-1)=p y queda probado.

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera9 Para la segunda condición tenemos que, por lo recién visto: por un lado P(X 1 =1)P(X 2 =1)= p 2, por otro lado P(X 1 =1, X 2 =1) =P(X 2 =1/ X 1 =1) P(X 1 =1)=P(X 2 =1/ X 1 =1) p (si X 1 =1, quedan D-1 defectuosos en un lote de N-1) {p(D-1)/(N-1)}. Como claramente p=D/N ≠ (D-1)/(N-1), queda probado.

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera10 DISTRIBUCION CONDICIONAL. Como el nombre lo sugiere, la distribución condicional de X dada Y=v es: F X/Y=v (u)= P( X≤u/Y=v) Por ejemplo, acabamos de probar que en un muestreo SIN REPOSICION: a)X 2 tiene distribución Ber(p) b)X 2 /X 1 =1 tiene distribución Ber(q) con q= (D-1)/(N-1) (distinta a la anterior).

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera11 De hecho puede verse que: Teorema: a)X e Y son independientes si y sólo si la distribución de X/Y=v coincide con la distribución de X para todo valor de v (“ Y no dice nada sobre X”). b) Si X e E independientes y g una función cualquiera, la distribución de g(X,Y)/Y=v coincide con la distribución de g(X,v) (“Principio de Sustitución”)

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera12 OBSERVACION: Un contraejemplo muestra que NO se puede aplicar el principio de sustitución si X e Y no son independientes. En efecto, tomemos X=Y con distribución Ber(p) y g(x,y)=x-y, por lo que g(X,Y)=0 y su distribución condicionada a cualquier evento da probabilidad 1 al 0. Sin embargo si v=1 se tiene que g(X,v)=X-1, que toma el valor 0 con probabilidad p y el valor -1 con probabilidad 1-p, por lo que no vale aquí el principio de sustitución.

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera13 Son muy útiles, los conceptos de función de probabilidad condicional p X/Y=v (u)=P(X=u, Y=v)/P(Y=v)= p (X,Y) (u,v)/p Y (v) y de densidad condicional f X/Y=v (u)= f (X,Y) (u,v)/f Y (v) en los casos de vectores discretos o AC, respectivamente.

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera14 Se tiene que p (X,Y) (u,v)= p X/Y=v (u)p Y (v) (caso discreto) y que f (X,Y) (u,v)= f X/Y=v (u)f Y (v) (caso AC) para todo par de valores u,v Sin embargo : SON MUY UTILES TAMBIEN EN LA PRACTICA LOS CASOS DE “MEZCLAS”, CONDICIONALES DONDE UNA VARIABLE ES DISCRETA Y LA OTRA ES AC. Veremos un par de ejemplos.

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera15 Ejemplo 1: Supongamos que en una casa comparten el uso de una conexión ADSL tres personas A, B y C. Si la persona A fuera la única en usar la conexión, el tráfico mensual que generaría se puede representar por una variable aleatoria N(1000, ) ( la unidad de referencia es Mb). Si B fuera la única en usarlo, su tráfico sería una N(750, ) y si C fuera la única en usarlo, su tráfico sería una N(500, 2.500). Supongamos que A, B y C se distribuyen aleatoriamente el uso del enlace, pero que el 60% del tiempo lo usa A, el 30% lo usa B y el 10% lo usa C. Si X= tráfico mensual del enlace, propongámonos hallar la densidad de X y la P(X<800).

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera16 Definamos Y=1, si A está usando el enlace, Y=2 si lo está usando B e Y=3 si lo está usando C. Queda como ejercicio verificar que: F X (t)=F X/Y=1 (t)p Y (1) + F X/Y=2 (t)p Y (2) + F X/Y=3 (t)p Y (3) y que por ende f X (t)=f X/Y=1 (t)p Y (1) + f X/Y=2 (t)p Y (2) + f X/Y=3 (t)p Y (3) Llamando φ a la densidad N(0,1) y Φ a la distribución N(0,1), por los datos del problema, se tiene que:

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera17 P(X<800)=0.6Φ(( )/100)+ 0.3Φ(( )/100)+ 0.1Φ(( )/50)=0.6 Φ(-2)+ 0.3 Φ(0.5)+ 0.1Φ(6)= 0.6*( )+0.3* =0.321 Por otro lado: f X (t)= 0.6 (1/100)φ((t-1000)/100)+ 0.3(1/10)φ((t-750/100)+0.1φ((t-500)/50) (Ver gráfica en próximo slide) Este es un caso de MEZCLA DE NORMALES, que resulta sumamente útil en la modelización práctica

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera18

P y E 2012 Clase 7Gonzalo Perera19 Obsérvese que contrariu sensu a los más difundido, no siempre una mezcla de k poblaciones relativamente homogéneas modeladas cada una por una gsitribución gaussiana y su conjunto por un mezcla de gaussianas, corresponde a “contar picos de campana” ya que en el ejemplo anterior hay una mezcla de tres gaussianas, y sólo DOS picos son claramente apreciables a nivel visual. Esto responde, claramente, al grado de dispersión o disimilaridad en los subgrupos poblacionales que dan lugar a las normales. Si las normales están suficientemente separadas, sus “picos” indican una subpoblación o segmento homogéneo. Si están “cerca” se confunden. Es tema aún actual de investigación el determinar en cuantos segmentos homogéneos se puede dividir una pobación heterogénea.