PROGRESIONES ARITMETICAS DEFINICIÓN TERMINO GENERAL SUMA DE TERMINOS CONSECUTIVOS APLICACIONES

DEFINICION DE PROGRESION ARITMETICA Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo que llamamos diferencia Ejemplo: La sucesión de los múltiplos de 5: a1=5 +5 a2=10 a3=15 a4=20

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Considerando la sucesión aritmética a1, a2, a3, a4,….de diferencia d. Expresaremos todos los términos, a partir del segundo, en función del primero a1 y de la diferencia d. Teniendo en cuenta la ley de recurrencia, se obtiene: a1 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d …………… an=an-1+d=a1+(n-1)d an = a1 + (n-1)d

Por tanto la expresión del término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n-1)d

SUMA DE n TÉRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA El gran matemático Gauss, a la edad de 10 años encontró un procedimiento para hallar la suma de los 100 primeros números naturales.

Este procedimiento consiste en escribir la suma indicada en orden creciente y debajo la misma suma en orden decreciente: S = 1 + 2 + 3 + ………….………………………+98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ……………………+4 + 3 + 2 + 1 2S = 101 + 101 + 101 +……………………+101 + 101 + 101 Se observa que para cada suma de dos término nos da 101, por lo que tendremos que la suma de los 100 primeros números naturales es:

En general, para sumar los n primeros términos de una sucesión aritmética seguimos el método utilizado por Gauss y utilizamos la propiedad : En toda sucesión aritmética limitada a1, a2, a3, a4,….an se cumple que la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. a1 + an = a2 + an-1= a3 + an-2 =……..

y obtenemos:

APLICACIONES En la vida cotidiana hay situaciones que se resuelven utilizando las progresiones aritméticas, por ejemplo a la hora de pagar el estacionamiento, cuando hemos dejado el auto había un cartel que decía: Es decir que si consideramos an como el precio que voy a pagar por dejar el coche n minutos, esa ley es una progresión aritmética donde a1= 12 y d= 0.5 contando n a partir de 30. 1ª media hora………. $12.00 precio del minuto…… $ 0.50

En esta sucesión aritmética a1 = 102, d = 3 y an = 999. Por tanto: ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de tres? La sucesión de números de tres cifras, múltiplos de tres, es : an = 3 . 333 = 999 a1 = 3 .34 =102 En esta sucesión aritmética a1 = 102, d = 3 y an = 999. Por tanto: an = a1 + (n-1)d 999 = 102 + (n-1)3 999 = 102 + 3n -3 n = 300 números