Capítulo 4 Modelo de Redes

Objetivos del Capítulo Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación lineal, representación en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de transporte. * Modelos de capacidad de transporte * Modelos de asignación * Modelo del vendedor viajero * Modelos de la ruta mas corta * Modelos de la rama mas corta

6 Nodos Arcos Funciones en los arcos Un problema de redes es aquel que puede representarse por: 8 6 9 10 Nodos Arcos 7 10 Funciones en los arcos

4.1 Introducción La importancia de los modelos de redes: * Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redes * El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución. * Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática.

Terminología de Redes * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los conecta. La siguiente notación es usada: Xij= cantidad de flujo Uij= cota mínima de flujo que se debe transportar Lij= cota maxíma de flujo que se puede transportar. * Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede transportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha). * Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

Rutas/Conexión entre nodos *Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de nodos adyacentes * Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos. Ciclos / Arboles /Arboles expandidos * Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta. * Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos. *Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1 arcos).

4.2 Problemas de transporte Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.1

Definición del problema * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Si *Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj *Objetivo: Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.

Farmacéutica Carlton La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros suministros médicos. Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro. Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis. La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de sus productos de la manera más económica posible.

Costo de transporte por unidad, oferta y demanda. Datos Costo de transporte por unidad, oferta y demanda. Supuestos * El costo de transporte por unidad es constante * Todos los transportes ocurren simultáneamente. * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino * La oferta total es igual a la demanda total.

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Destinos Boston Origenes Cleveland Richmond Atlanta St.Louis Destinos Origenes Cleveland Detroit Greensboro D1=1100 37 40 42 32 35 30 25 15 20 28 S1=1200 S2=1000 S3= 800 D2=400 D3=750 D4=750

Modelo matemático * La estructura del modelo es la siguiente: Minimizar <Costo total de transporte> sujeto a : cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora. * Variables de decisión: Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro) j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)

Restricciones de la Oferta Cleveland S1=1200 X11 X12 X13 X14 Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200 Restricciones de la Oferta Detroit S2=1000 X21 X22 X23 X24 Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000 Boston Greensboro S3= 800 X31 X32 X33 X34 Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800 D1=1100 Richmond D2=400 Atlanta D3=750 St.Louis D4=750

El modelo matemático completo =

Solución optima obtenida a través de Excel

Análisis de Sensibilidad por WINQSB Si utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad transportada. Rango Optimo

Rango de factibilidad Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la distribuidora. Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta.

Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad. * Reducción de Costos: - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta más económicamente atractiva. - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha. * Precios Sombra: - Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la planta. - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora.

Compañía de ski Montpelier Usando un modelo de transporte para un itinerario de producción * Montpelier planea su producción de ski para los meses de julio, agosto y septiembre. * La capacidad de producción y el costo de producción unitario puede varia de un mes a otro. * La compañía puede destinar tiempo de producción adicional para la fabricación de skis. * El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda proyectada y un trimestre del nivel de inventario. * La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el costo del trimestre.

Datos: * Inventario inicial = 200 pares * Nivel de inventario requerido = 1200 pares * Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal) 200 pares (sobretiempo) * La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski * El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)

Análisis de los costos unitarios Análisis de la demanada * Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares en inventario * Demanda neta de agosto = 600 * Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares demanda esperada inventario req. Análisis de la oferta * La capacidad de producción corresponde a la oferta * Existen dos tipos de “oferta” 1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de producción) 2.- Oferta producida en sobretiempo. Análisis de los costos unitarios Costo Unitario= [costo unitario de producciónt] + [costo unitario de lamacenamiento por mes ][número de meses en inventario] Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y vendida en septiembre cuesta= 25+ (3%)(25)(2 meses) = $26.50

Representación de la Red Producción Mes/periodo Representación de la Red Mes Ventas July R/T Julio T/N 25 25.75 26.50 1000 200 Julio Julio S/T 500 30 30.90 31.80 +M 26 26.78 +M 37 +M 29 Agst. T/N 800 +M 32 32.96 Agst.. 600 Capacidad de Producción Demanda Agst. S/T 400 Sept. 2200 Sept. T/N 400 Exceso 300 Sept. S/T 200

Producción Julio: tiempo normal Destino: Demanda para Julio Producción Agosto:Sobretiempo Destino: Demanda de Septiembre Costo Unitario= $25 (producción) 32+(.03)(32)=$32.96 Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento

Resumen de la solución óptima. * En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en sobretiempo. Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio * En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares * En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden distribuir: (1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles para ser transportados a Ski Chalet. Inventario + Producción - Demanda

4.3 Problemas de Asignación Definición del Problema * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos. * Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j. * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible.

Electrónica Ballston Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección de un área de pende de la línea de producción y del área de inspección. La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo.

Datos * Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Línea de ensamble Área de Inspección S1=1 S2=1 S3=1 S4=1 S5=1 D1=1 1 A 2 B D2=1 3 C D3=1 D4=1 4 D D5=1 5 E

Supuestos restricciones * El número de trabajadores es igual al número de empleos. * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador. * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado.

Solución mediante el método Húngaro Problema: El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

Restricciones del Método * Solo problemas de minimización. * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignación por persona y una persona por asignación Matriz de Costos Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

Restar el Menor valor de cada fila Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 9 12 María 20 13 11 0 Jackeline 18 0 11 9 Edith 9 0 13 10 Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Juana 0 3 0 12 María 20 13 2 0 Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10

Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 0 12 María 20 13 2 0 Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10 Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones. Pare este caso corresponde al valor 2

Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 5 0 14 María 18 13 0 0 Jackeline 16 0 0 9 Edith 7 0 2 10 Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Cap. 13 María Cap. 16 Jackeline Cap. 15 Edith Cap. 14 *Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410

* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular Casos especiales * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular * Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un trabajo. * Un problema de maximización.

4.4 Problema del vendedor viajero Definición del problema Existen m nodos Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j). El objetivo es encontrar el ciclo que minimizeel costo total al visitar todos los nodos exactamente una vez. Se trata de un tour es un recorrido que comienza en una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y volviendo al punto de partida. El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los puntos de vista de tiempo y distancia. -

Importancia - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema de vendedor viajero - Ejemplo * Rutas a seguir por buses escolares * Distribución de bombas militares - El problema tiene importancia teórica porque este representa una clase de problemas llamados NP-completos. Complejidad Escribir el modelo matemático y resolverlo resulta muchas veces incómodo, ya que un problema de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones.

AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales de la AGE, partiendo de la oficina principal y volviendo a la misma, la cual esta ubicada en Northridge, Southern California. Datos Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otra

Red que representa el problema de vendedor viajero de AGE 40 2 3 25 35 50 40 50 1 4 45 65 30 80 Of. Princ

- Identificación de los posibles ciclos. Solución - Identificación de los posibles ciclos. * Existen (m-1)1 ciclos posibles * Solo problemas pequeños pueden ser resuletos. - Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la técnica Branch and Bound. * Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos en forma eficiente por este método.

EL PROBLEMA AGE - Identificación de los posibles ciclos Ciclo Costo Total 1. H-O1-O2-O3-O4-H 210 2. H-O1-O2-O4-O3-H 195 3. H-O1-O3-O2-O3-H 240 4. H-O1-O3-O4-O2-H 200 5. H-O1-O4-O2-O3-H 225 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235 9. H-O2-O4-O1-O3-H 250 10. H-O2-O1-O4-O3-H 220 11. H-O3-O1-O2-O4-H 260 12. H-O3-O1-O2-O4-H 260

Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB

Solución de WINQSB -Una combinación de problema de asignación y la técnica Branch and Bound

40 2 3 25 35 50 40 1 50 4 45 65 30 80 Of. Princ

4.5 Problemas de la Ruta más corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal. Definición del Problema - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n. - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, dij - Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.

Lineas Fairway Van Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.

Seattle Butte 1 2 Boise 3 4 Cheyenne Salt Lake City Portland Reno 7 8 599 2 497 Boise 691 180 420 3 4 Cheyenne 345 Salt Lake City 432 Portland 440 Reno 7 8 526 6 138 102 5 432 621 Sac. 291 Denver 9 Las Vegas 11 280 10 108 Bakersfield Kingman 452 155 Barstow 114 469 15 207 12 14 13 Albuque. Phoenix Los Angeles 386 16 403 118 19 17 18 San Diego 425 314 Tucson El Paso

Solución - Analogía de un problema de programación lineal - Variables de decisión Xij = 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une la ciudad i con la ciudad j. 0 En cualquier otro caso Objetivo = Minimizar S dijXij

2 7 Sujeto a las siguientes restricciones Salt Lake City 1 3 4 Seattle Boise Portland 599 497 180 432 345 Butte [El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1 X12 + X13 + X14 = 1 De una forma similar: [El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1 X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1 [El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4): X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47. Restricciones mayores que cero

Solución Optima por WINQSB

Solución-Analogía con un problema de redes El algoritmo de Dijkstra’s: -Encontrara la distancia mínima del nodo de partida a los otros nodos, en el orden que se encuentrana los nodos con respecto al nodo de inicio. - Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el nodo de inicio a todos los nodos de la red.

Una representación del algoritmo de Dijkstra’s SLC. SLC. SLC SLC 420 CHY. 691 + = 1119 1290 BUT 599 POR 180 497 BOI BUT. 599 180 497 345 SLC + = 842 BOI BOI. SEA. + BOI 432 SAC 602 = 612 782 … Y de esta manera hasta cubrir toda la red.. POR. SAC.

4.6 Arbol de expansión mínima Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop. El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la reundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.

EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de tránsito. El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales. El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos los centros a un mínimo costo. La red seleccionada debe permitir: - Factibilidad de las líneas que deban ser construídas. - Mínimo costo posible por línea.

RED QUE REPRESENTA EL ARBOL EXPANDIDO. 55 Zona Norte Universidad 3 50 30 Distrito Comercial 39 38 33 4 34 Zona Oeste 45 1 32 8 28 43 35 2 6 Zona Este Zona Centro Shopping Center 41 40 37 44 36 7 Zona Sur

Solución - Analogía con un problema de redes - El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil (“trivial”). - Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”. - Algoritmo: * Comience seleccionando el arco de menor longitud. * En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la precaución de no formar ningún loop. * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados. Solución mediante el computador - Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los arcos y la descripción de la red.

Solución óptima mediante WINQSB

Loop RED QU E REPRESENTA LA SOLUCIÖN ÖPTIMA 55 Universidad 3 50 5 Zona Norte 30 Distrito Comercial 39 38 33 4 34 Zona Oeste 45 Loop 32 1 8 28 43 35 2 6 Zona Este Zona Centror Shopping Center 41 40 37 44 36 Costo Total = $236 milliones 7 Zona Sur

4.7 Problema del flujo máximo Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermedios Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.

Definición del Problema - Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan. - Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados. - Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale. - La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cji para la dirección opuesta.

El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.

COMPAÑÍA QUIMICA UNIDA Química unida produce pesticidas y otros productos de control agrícola. El veneno químico necesario para la producción es depositado en grandes tambores. Una red de tubos y válvulas regula el flujo del químico de los tambores a las diferentes áreas de producción. El departamento de seguridad debe diseñar un procedimiento que vacíe los tambores de la forma más rápida posible dentro de los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos y válvulas. El procedimiento debe determinar: - Qué válvulas deben abrirse y cerrarse - Estimar el tiempo total de descarga.

Datos No se permite flujo de 4 a 2. El máximo flujo de 2 a 4 es 8 4 8 El máximo flujo de 2 a 4 es 8 4 8 7 2 3 6 1 10 3 1 2 6 7 4 10 2 Tambores con químico Tubo de Seg. 1 4 2 12 8 3 5

Solución - Analogía de un problema de programación lineal Variables de decisión Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del arco que conecta ambos nodos. Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1 Max X12 + X13 Restricciones [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7] X12 +X13 = X47 + X57 + X67 [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale] Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26 Nodo 3: X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + X36 Nodo 4: X24 +X64 = X46 + X47 Nodo 5: X35 +X65 = X56 + X57 Nodo 6: X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67

EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1; X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8; X63 4; X64 3; X65 2; X67 2; Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0 Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida rápidamente usando el modelo de programación lineal. Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.

Solución-Analogía con un problema de redes - La idea básica es la siguiente: * Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos. * Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad de uno de los arcos de la ruta. * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva. *Designar un nodo origen y un nodo de flotación * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos) * A continuación se muestra la solución obtenida usando WINQSB.

El máximo flujo obtenido por WINQSB 8 8 2 7 10 4 2 Flujo Máximo= 17 1 6 7 Tambores con químico Tubo de Seg. 3 5