Prof. Pedro José Tineo Figueroa Unidad III: Ecuaciones de Variación Prof. Pedro José Tineo Figueroa

OBJETIVO TERMINAL Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los conceptos englobados en las Ecuaciones de Variación de masa y cantidad de movimiento de los fluidos.

OBJETIVO ESPECÍFICOS Interpretar la ecuación de continuidad y movimiento. Identificar las distintas ecuaciones diferenciales de continuidad y movimiento en coordenadas rectangulares y cilíndricas Aplicar la ecuación de continuidad y movimiento en la obtención del perfil de velocidades, velocidad media y velocidad máxima de flujo Comparar el principio de la ecuación de continuidad y movimiento con el principio de balance de cantidad de movimiento Evaluar los métodos para el cálculo del perfil de velocidades.

CONTENIDO Ecuación de Continuidad 2. Ecuación de Movimiento 3. Ecuación de Navier-Stokes 4. Aplicaciones a modelos matemáticos sencillos. Bibliografía: Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987. Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill 2002. Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Introducción Ecuaciones de Variación: a) Ecuación de conservación de la Materia 1. Fluidos isotérmicos 2. Sistemas Rectangulares 3. Sistemas Curvilíneos:Cilíndricos y Esféricos b) Ecuaciones de conservación de la cantidad de Movimiento

Ecuación de Continuidad Ecuación de Continuidad: Se deduce aplicando un Balance de Materia a un elemento estacionario de volumen xyz, a través del que está circulando el fluido. x z y (x, y, z) (x+x, y+y, z+z) x y z (vx)|x (vx)|x+x

Ecuación de Continuidad Balance de Materiales: Escribiendo los términos considerando flujo en todas las direcciones se obtiene: Dividiendo por xyz y tomando el límite cuando tienden a cero se obtiene la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas

Ecuación de Continuidad Una simplificación importante se obtiene al asumir que el fluido es incompresible (=Ctte), en cuyo caso /t = 0: Haciendo los cambios de variables apropiados se pueden obtener ecuaciones análogas para coordenadas cilíndricas y esféricas:

Ecuación de Movimiento Ecuación de Movimiento: Para un elemento de volumen similar al anterior se puede aplicar un balance de cantidad de movimiento zx|z+z x z y (x, y, z) yx|y+y xx|x xx|x+x xy|y zx|z+z En esta figura solo se señala la componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies

Ecuación de Movimiento Dado que el esfuerzo cortante tiene tres componentes para el flujo en cada dirección se escribe un balance de cantidad de movimiento para cada componente en estado no estacionario: Para la componente x (las otras se obtienen por analogía) se tiene: Entrada y salida de Cantidad de Movimiento

Ecuación de Movimiento Fuerzas Velocidad de Acumulación Sustituyendo en el balance y dividiendo por xyz cuando éstos tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento: Por analogía se obtienen las componentes y y z respectivamente:

Ecuación de Movimiento Para determinar el perfil de velocidades a partir de estas ecuaciones es necesario sustituir las componentes del esfuerzo cortante, que en el caso de fluidos Newtonianos son:

Ecuación de Movimiento El resultado de sustituir las expresiones newtonianas del esfuerzo, además de considerar que las propiedades permanecen constantes, se conoce como las Ecuaciones de Navier-Stokes:

Ecuación de Movimiento Al igual que la ecuación de continuidad, existen ecuaciones análogas para las coordenadas curvilíneas, cuya deducción se puede hacer a partir de la ecuación en coordenadas cartesianas haciendo los cambios de variables necesarios, éstas se resumen a continuación:

Ecuación de Movimiento

Ecuación de Movimiento

Ecuación de Movimiento

Ecuación de Movimiento

Ecuación de Movimiento

Ecuación de Movimiento

Ecuación de Movimiento En el uso de estas Ecuaciones para la resolución de problemas de flujo Isotérmico las siguientes recomendaciones deben tomarse en cuenta: Verificar que las propiedades sean o no constantes. Definir las condiciones límites. Analizar intuitivamente el tipo de flujo, distribución de la presión, dirección de flujo, componentes del tensor esfuerzo, para reconocer los términos que son cero (ó muy próximos) y descartarlos. Finalmente se resuelve la ecuación o ecuaciones diferencial resultantes de este proceso.

Aplicaciones

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.” Anónimo