Teoría de Probabilidad La teoría de probabilidad estudia los métodos de análisis que son comunes en el tratamiento de fenómenos aleatorios. De otra forma, la probabilidad es la ciencia de los fenómenos aleatorios, en el sentido que estudia las propiedades de estos fenómenos que dependen esencialmente del concepto de aleatoriedad y no de otros aspectos particulares. Un fenómeno aleatorio (fortuito o al azar) es un fenómeno empírico que se caracteriza por la propiedad de que, al observarlo bajo determinado conjunto de condiciones, no siempre existe el mismo resultado (no existe regularidad determinista) sino que los diferentes resultados ocurren con regularidad estadística.

Teoría de Probabilidad Regularidad estadística: Esto quiere decir que existen números entre 0 y 1 que representan la frecuencia relativa con la que se observan los diferentes resultados en una serie de repeticiones independientes del fenómeno. Hay dos conceptos ligados al fenómeno aleatorio: evento aleatorio, y probabilidad de un evento aleatorio. Un evento aleatorio tiene la propiedad de que la frecuencia relativa con la que aparece en una sucesión muy larga de observaciones realizadas al azar, se acerca a un valor límite estable a medida que el número de observaciones tiende al infinito. Y este valor límite se llama probabilidad del evento aleatorio.

Teoría de Probabilidad Ejemplo de lo anterior: lancemos mil veces dos dados y observemos la suma de las caras superiores de cada lanzamiento

Teoría de Probabilidad En el ejemplo anterior: Experimento aleatorio: lanzar dos daos Un evento aleatorio: obtener suma 7 Probabilidad (a priori) del evento anterior: 6/36 En la medida que los valores de las frecuencia relativas al repetir muchas veces el experimento, bajo las mismas condiciones, se aproxima a nuestros valores de probabilidad (teóricos), se dice que el fenómeno aleatorio del lanzamiento de un dado tiene este modelo matemático (definido por las barras rojas).

Teoría de Probabilidad Podemos decir entonces que la teoría de la probabilidad es el estudio de los modelos matemáticos de los fenómenos aleatorios; de otro forma, que trata de las proposiciones que pueden hacerse acerca de un fenómeno aleatorio del que se han postulado ciertas propiedades. ¿Cómo se formulan los postulados acerca de un fenómeno aleatorio? Para responder a esto, es necesario conocer el conjunto de todos los posibles resultados del fenómeno aleatorio, conocido como el espacio de las descripciones muestrales, o simplemente espacio muestral.

Teoría de Probabilidad Ejemplos de espacios muestrales (para un mismo experimento) 1 2 3 4 5 6 Supongamos que tenemos seis bolas, cuatro blancas y dos rojas, en una urna, y se extrae una bola al azar. Según la bola extraída sea blanca o roja, el espacio muestral será S = {B, R} ; B: blanca; R: roja Ahora, si estamos interesados en el número de la bola extraída, el espacio muestral será S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Teoría de Probabilidad Otro ejemplo: 1 2 3 4 5 6 Tomemos ahora seis bolas numeradas del 1 al 6, en una urna, y realizamos dos extracciones, sin reposición. En este caso el espacio muestral es S = { (x, y) / x, y e {1, 2, 3, 4, 5, 6} con x distinto de y }

Teoría de Probabilidad Eventos 1 2 3 4 5 6 Tomemos ahora seis bolas numeradas del 1 al 6, de las cuales dos son blancas y cuatro rojas, en una urna, y realizamos dos extracciones, sin reposición. El espacio muestral es S = { (x, y) / x, y e {1, 2, 3, 4, 5, 6} con x distinto de y } Algunos eventos son: La primera bola extraída sea blanca La segunda bola extraída sea blanca La suma de los números de las dos bolas sea 7

Teoría de Probabilidad Eventos 1 2 3 4 5 6 Para cada uno de los eventos mencionados existe un conjunto de descripciones en S tal que el evento ocurre si, y sólo si, el resultado observado en las dos extracciones corresponde a una de las descripciones dentro del conjunto. En consecuencia, un evento es un conjunto de descripciones. Al decir que cierto evento E ha ocurrido, significa que el resultado de la situación aleatoria considerada tiene por descripción un elemento del conjunto E. Por lo tanto, podemos hablar de un evento en términos de concepto de subconjunto. De otra forma, un evento es un subconjunto del espacio de las descripciones muestrales.

Teoría de Probabilidad Elaciones entre eventos Espacio S de las descripciones muestrales Evento E EC No sucede E Lo que no es rojo es el complemento de E, denotado por EC

Teoría de Probabilidad Elaciones entre eventos Espacio S de las descripciones muestrales Evento E Evento F E U F: ocurre al menos uno de los dos eventos

Teoría de Probabilidad Elaciones entre eventos Espacio S de las descripciones muestrales Evento E Evento F E U F: ocurre al menos uno de los dos eventos

Teoría de Probabilidad Elaciones entre eventos Espacio S de las descripciones muestrales Evento E Evento F E F: ocurre tanto E como F