Clase 1. Fundamentos de la teoria de la radiacion PROCESOS RADIATIVOS Clase 1. Fundamentos de la teoria de la radiacion 1. Definiciones basicas de la radiacion 1.1 Intensidad especifica o brillo La cantidad de energia dE que fluye a traves del area dA, en el intervalo de tiempo dt, ancho de banda d, y angulo solido d, la expresamos como: Esta relacion define la intensidad especifica I. Note que 20 de Marzo, 2006

En el vacio, I es una propiedad invariante de un campo electromagnetico. Sean dA y dA´ dos elementos de area separados por una distancia R . Considere todos los rayos que pasan a traves de ambas superficies. Energia que fluye a traves de dA en el angulo solido proyectado por dA´: Energia que fluye a traves de dA´ en el angulo solido proyectado por dA: Del principio de la conservacion de la energia: Ademas, y  I es independiente de la distancia entre la fuente y el observador.

1.2 Densidad de flujo La cantidad de energia dE que fluye a traves del area dA, en el intervalo de tiempo dt, y ancho de banda d, la expresamos como: Esta relacion define la densidad de flujo F. Usando la definicion de la intensidad especifica, tenemos 1.2.1 Casos particulares : A. Densidad de flujo de una fuente que emite radiacion isotropicamente: La densidad de flujo depende de la distancia entre la fuente y el observador.

Momentum del foton a lo largo del rayo L es: B. Flujo en un punto en el cual la intensidad de la radiacion es isotropica: F = 0. 1.3 Presion de radiacion Momentum del foton a lo largo del rayo L es: Presion = momentum normal a dA por unidad de tiempo y de area  1.4 Densidad de energia radiativa, u u : energia por unidad de volumen y por unidad de frecuencia.

Definimos la energia uI () por unidad de volumen dV, por unidad de frecuencia d, y unidad de angulo solido d, como: Consideremos un cilindro de largo cdt en la direccion de un rayo. 1. Energia contenida en el cilindro en un angulo solido d : 2. En el intervalo de tiempo dt toda la radiacion contenida en el cilindro pasara a traves de dA , de manera que Por lo tanto,

 Integrando sobre el angulo solido, se encuentra que donde es la denominada intensidad media. Si la radiacion es isotropica, se tiene que Jν= Iν . En este caso la presion de radiacion es: 

Clase 2. Transferencia de la radiacion 2.1 Emision Coeficiente de emision espontanea : Se define  que la cantidad de energia emitida por unidad de tiempo, angulo solido, volumen y frecuencia es: Considere un haz de rayos con un angulo solido d y de seccion recta dA , que recorre una distancia ds. Sean I e I´ las intensidades a la entrada y salida del cilindro, respectivamente. Energia agregada al haz por emisiones espontaneas: 20 de Marzo, 2006

2.2 Absorcion Energia que entra al volumen: Energia que sale del volumen: De la conservacion de energia: 2.2 Absorcion Se define el coeficiente de absorcion k  la perdida de intensidad de un haz al viajar la distancia ds esta dada por

Esta relacion fenomenologica se puede entender de la siguiente manera. Consideremos un medio absorbente  n : densidad de particulas  : area eficaz de absorcion (o seccion recta) de cada particula Veamos el efecto de este medio en la radiacion que pasa a traves de dA dentro del angulo solido d :  Numero de absorbentes en el volumen considerado: ndAds  Area total presentada por los absorbentes : n  dA ds  Energia absorbida del haz:

2.3 Ecuacion de la transferencia de la radiacion El cambio de la intensidad de un rayo al pasar por un medio absorbente y emisor esta dada por: k y j dependen de los procesos fisicos en el medio bajo consideracion. Soluciones: Caso en el que hay solo emision (k =0) El crecimiento en el brillo es igual al coeficiente de emision integrado a lo largo de la linea de la visual.

2.4 Profundidad optica y funcion de la fuente Caso en el que hay solo absorcion (j =0) Integrando, 2.4 Profundidad optica y funcion de la fuente Se define la profundidad optica  tal que : o bien

Cuando  > 1 : medio es opticamente grueso. Cuando  < 1 : medio es opticamente delgado. En funcion de  la ecuacion de la transferencia toma una forma mas sencilla: donde es la denominada funcion de la fuente. La ecuacion (1) tiene una solucion del tipo: donde f() es una funcion por determinar. Reemplazando (2) en (1) se encuentra que

Substituyendo en (1), Primer termino derecha : Intensidad inicial disminuida por absorciones. Segundo termino derecha : Funcion de la fuente disminuida por la absorcion integrada a lo largo de la visual. Caso particular: S ()=constante= S Cuando   ∞, I  S. Si I > S  dI /d < 0,  I tiende a decrecer a lo largo del rayo. Si I < S  dI /d > 0,  I tiende a crecer a lo largo del rayo.

2.5 Temperatura de brillo Se suele caracterizar la intensidad specifica de la radiacion a una cierta frecuencia por la temperatura del cuerpo negro que emite la misma intensidad a esa frecuencia: I = B (Tb). La temperatura de brillo tiene la ventaja de que esta asociada con las propiedades fisicas del emisor. En el limite de bajas frecuencias: 2.6 Camino libre medio Se define el camino libre medio como la distancia promedio que un foton puede viajar a traves de un medio absorbente sin ser absorbido. De la ley exponencial para la absorcion:

se tiene que la probabidad de que un foton viaje al menos una profundidad optica  es e -  La profundidad optica promedio que viaja el foton es: De manera que < > =1. La distancia fisica promedio recorrida por el foton en un medio es definida como el camino libre medio l,

Clase 3. Radiacion termal La radiacion termal corresponde a radiacion emitida por materia en equilibrio termodinamico. 3.1 Radiacion de cuerpo negro Radiacion que esta en equilibrio termico con la materia. Propiedades: La intensidad de un cuerpo negro es independiente de las propiedades del recipiente y solo depende de la temperatura. Considere dos recipientes arbitrarios a temperatura T separados por un filtro que solo deja pasar energia a una determinada frecuencia . Si I  I’ , energia fluira espontaneamente de un recipiente a otro lo que viola la segunda ley de la termodinamica.  I = B (T) : Funcion de Planck 27 de Marzo, 2006

3.2 Leyes de Kirchhoff para la emision termal. Considere material que emite a la temperatura T. En este caso la emision depende de T y de las propiedades internas del material. Sea S la funcion de la fuente. Pongase el cuerpo en recipiente de cuerpo negro. De la ecuacion de la transferencia: La nueva configuracion es tambien un cuerpo negro a la temperatura T. Ley de Kirchhoff

Es importante distinguir entre la radiacion de cuerpo negro [I =B (T)] y la radiacion termal [S =B (T)] . 3.3 Funcion de Planck Haremos la derivacion en dos etapas: A. Densidad de estados de fotones en una cavidad de cuerpo negro. B. Energia promedio de cada estado del foton. A. Considere un foton con frecuencia  que se propaga en la direccion n dentro de una caja (Lx,Ly,Lz). Vector de onda del foton: Si  << L, el foton puede ser considerado como una onda estacionaria. Numero de nodos de la onda en la direccion x :

La onda cambia de estado de una manera distinguible cuando el numero de nodos en una direccion dada cambia por uno o mas.  n mide el numero de estados. El numero de cambio de nodos en el intervalo de numero de onda kx es: Por lo tanto el numero de estados en el elemento 3-D de onda kx ky kzd3k es: “2” dos estados por cada vector de onda debido a las diferentes polarizaciones. Por otro lado,

El numero de estados por unidad de volumen, angulo solido y frecuencia, es entonces: B. Energia promedio de cada estado del foton. Foton con frecuencia  tiene energia h . Cual es la energia promedio del estado que tiene la frecuencia  ? Cada estado puede contener n fotones de energia h, (n=0,1,2,…..). La energia del estado con n fotones es : En = n h . De la mecanica estadistica sabemos que la probabilidad de un estado de energia En es proporcional a exp(- En), donde = 1/kT.  Energia promedio E:

estadistica de Bose-Einstein para un numero ilimitado de particulas. Esta ecuacion dice que el numero promedio de fotones con frecuencia  , n , es La energia por unidad de angulo solido, volumen y frecuencia, u (Ω), es entonces: Recordando que u (Ω) = I /c, y que en este caso I = B, encontramos que

Disgresion acerca de angulos solidos 2-Dimensiones Angulo: Distancia en un circulo de radio unitario. 3-Dimensiones Angulo solido: Area en una esfera de radio unitario