COMPORTAMIENTO PLÁSTICO: Deformación Plana Hipótesis Ecuaciones en deformación plana Conclusiones Líneas de deslizamiento Ecuaciones de Henky La hodógrafa

Deformación Plana Hipótesis sy Material rígido-plástico e = 0 para s < sy s = sy para e > 0 Estado de deformación plana en un sólido Para todo punto la deformación es paralela a un plano fijo dado (XY) El desplazamiento no depende de Z El desp.del pto (x,y,z1) es igual que (x,y,0) Basta con estudiar lo que pasa en el plano XY No se considera el efecto del tiempo El incremento de tiempo dt puede considerarse un parámetro En lugar de trabajar con desplazamientos incrementales, se trabaja con velocidades

Deformación Plana Consecuencias La velocidad en un punto solo tiene dos componentes, según x e y, y no varían con z en consecuencia, de las ecuaciones de Levi-Mises: luego sz es una tensión principal. Además de las ecuaciones de Levi-Mises, como es por tanto es: luego: esto es válido para el material considerado en las hipótesis. Además es aproximado para un material elastoplástico y exacto cuando n=0.5

Ecuaciones de la plasticidad en Deformación Plana Puesto que conocemos: y Las funciones desconocidas a obtener son las tensiones y las dos componentes de la velocidad por tanto necesitamos 5 ecuaciones. Son: El criterio de plastificación: En este caso Tresca y Von Mises coinciden y resulta: (I) donde k es la tensión tangencial máxima de plastificación Las ecuaciones de equilibrio: Cuando no existen fuerzas de masa sobre el sólido (o éstas son despreciables), quedan para deformación plana: (II) (III)

Ecuaciones de la plasticidad en Deformación Plana Las ecuaciones de la plasticidad: Como no existen deformaciones elásticas, las ecuaciones de LeviMises coinciden con las de Prandtl-Reuss : Y teniendo en cuenta que: , , y las ecuaciones de la plasticidad se pueden poner como: las cuales se suelen escribir de forma simétrica como: (IV) (V) donde esta última ecuación (V) representa la conservación de volumen

Ecuaciones de la plasticidad en Deformación Plana CONCLUSIONES Problemas estáticamente determinados: Las ecuaciones (I), (II) y (III) sirven para obtener las tensiones. Posteriormente con (IV) y (V) se obtienen las velocidades Problemas estáticamente indeterminados: Es necesario resolver conjuntamente todas las ecuaciones, utilizando un sistema de 5 ecuaciones con 5 incognitas: y Es fácil observar que el estado tensional se caracteriza por: una presión hidrostática cuyo valor varía de un punto a otro: un estado de cortante puro de valor constante: Todo lo anterior es válido para un punto que haya plastificado. En aquellos puntos en que el material esté en régimen elástico, no podemos usar ni el criterio de plasticidad ni loas ecuaciones de la plasticidad. En su lugar: Las deformaciones serían nulas (material rigidoplástico): Las tensiones se calculan con las ecuaciones de equilibrio (I) y (II) La ecuación de compatibilidad, que para def. plana es:

Líneas de deslizamiento En todo problema plástico en def. plana, en cada punto existen dos direcciones perpendiculares entre si para en las que se alcanza la tensión tangencial de plastificación k. Las correspondientes tensiones normales son iguales y de presión hidrostática –p. -p b a k x y sx sy txy y x Se denominarán a y b a las direcciones indicadas. Utilizaremos como convenio que la tensión principal máxima (tracción) se sitúe en el primer cuadrante de los ejes a, b, tomando éste como diedro anti-horario.. Los ejes a y b los denominaremos direcciones principales.

Líneas de deslizamiento A lo largo de las líneas a y b es tab = k = cte , luego dtab = 0. Si ahora referimos las ecuaciones de equilibrio (I) y (II) a los ejes a y b las ecuaciones quedan: Y de las ecuaciones (IV) y (V) como sa = sb = -p , se tiene que: Esto implica dos consecuencias inmediatas: Las líneas de deslizamiento son de deformación normal nula (sólo existe deformación tangencial) Las líneas de deslizamiento forman una red bidimensional que cubre toda la zona plástica del sólido. Los ejes a y b forman una red de líneas ortogonales entre si.

Ecuaciones referidas a las Líneas de deslizamiento (Ecuaciones de Henky) Veamos el círculo de Mohr: t s s1 sZ s2 p a b x y k 2f

Ecuaciones referidas a las Líneas de deslizamiento (Ecuaciones de Henky) Planteando las ecuaciones de equilibrio (II) y (III): Y si ahora hacemos coincidir los ejes a y b con x e y es f = 0 luego: E integrando: Ecuaciones de HENKY

EJEMPLO F A B C D

EJEMPLO F t s s1 s2 p2 a b y k s1 = 0 s2 = -p1 = -2k -p2 = -k C D Partimos del punto A -p1 t s s1 s2 p2 a b y k 2f b a k -p2 s1 = 0 s2 = -p1 = -2k -p2 = -k AB es línea a

EJEMPLO F Partimos del punto A Línea AB (a) Línea BD (b) Línea BC (a) Líneas b Partimos del punto A Líneas a Línea AB (a) Línea BD (b) Línea BC (a) Línea CD (b) El punto D es un punto singular !!

EJEMPLO F A B C D Calculamos F a F/2 k 45º pC

La hodógrafa Supongamos un sólido, en el que cada zona plástica está delimitada en diferentes regiones. La HODÓGRAFA es la representación gráfica del movimiento de cada zona del sólido Proporciona una imagen del movimiento y deformación del sólido. El cuadrilátero comprendido por dos líneas de deslizamiento se aproxima por un sólido rígido, en el que todos sus puntos tienen igual velocidad. Para representar la hodógrafa: Partimos de un punto cualquiera Se forma considerando: Condiciones de contorno (en movimientos) Velocidad relativa entre sólidos. Paralela a la línea de separación entre ambos Solución Utilizamos el teorema de los trabajos virtuales

Hodógrafa. Teorema del extremo superior Muchas veces es complicado encontrar el campo real de líneas de deslizamiento. En este caso es útil el teorema del extremo superior: SI UN SÓLIDO SE ENCUENTRA UNA DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES (que cumple las condiciones de contorno en desplazamientos) ENTONCES LAS TENSIONES EN EL CONTORNO (calculadas con esta distribución de velocidades) SON IGUALES O MAYORES QUE LAS REALES Consecuencias Si se prueban distintos mecanismos, y de ellos se obtienen los valores de las fuerzas exteriores (o presiones), la solución que más se aproximan a la solución real es la que proporciona los valores más bajos. La hodógrafa es un procedimiento que proporciona un valor rápido y aproximado de la solución real, aunque se desconoce su error. Proporciona una cota superior de las acciones exteriores. (En la práctica muchas veces sólo interesa una cota superior de forma rápida)

EJEMPLO F A B C D F Aproximación:

EJEMPLO F/2 4 1 2 3 Obtención de la hodógrafa: //34 //23 V3 O V1 V24 //12 O //24 V2 V1

EJEMPLO F/2 4 1 2 3 O V1 V24 V34 V12 V23 Estimamos F Potencia suministrada Potencia consumida O V1 V24 V34 V12 V23 Teorema extremo superior

EJEMPLO (resumen) F F Líneas de deslizamiento (Hencky) B C D Líneas de deslizamiento (Hencky) F Hodógrafa (teorema extremo superior)