Calcular el equivalente Thevenin + 3v 2v b a 4W 6W 5W 2W RL + Rth Vth RL a b Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b Calcularemos así la tensión en circuito abierto Vth 3v 4W 2v b c 6W 5W 2W Vth a + d

El resultado obtenido es Vth=-2.5V Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo de los recorridos De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la resistencia de 6W la tensión buscada es Vab =-3+Vc: 3v 4W 2v b c 6W 5W 2W Vth I2 I1 a + d El resultado obtenido es Vth=-2.5V

Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión: 4W a 6W 5W 2W Rth - + 8,5Ώ RL a b 2,5 V

Impedancia y admitancia Introducción Recordando que las relaciones fasoriales para los elementos R, L y C están dadas por: En una resistencia, condensador o inductor, la corriente y el voltaje fasorial, en el dominio de la frecuencia, están relacionados como la ley de Ohm para las resistencias

Introducción Z Se define la impedancia de un elemento como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y se denota como . “Ley de Ohm fasorial ” Teniendo en cuenta que , se tiene: La impedancia no tiene un significado en el dominio del tiempo.

Notación La impedancia puede expresarse como: donde R es la parte real de la impedancia (componente resistiva) y X la parte compleja (componente reactiva). Puede notarse que se debe cumplir: X (Reactancia) R (Resistencia) Im Re gráficamente

reactancia capacitiva Notación Tanto R, L y C tienen su impedancia correspondiente. Así: reactancia inductiva reactancia capacitiva El recíproco de la impedancia se llama admitancia y se denota por la letra Y, es decir:

Notación Como: La parte real de la admitancia, G, se denomina conductancia y la parte imaginaria, B, susceptancia (notar que no son recíprocos de R y X, respectivamente). La unidad de G y B es siemens. Si la parte imaginaria de una impedancia es positiva, se dice que la impedancia es inductiva. En cambio, si es negativa, se dice que la impedancia es capacitiva. En el caso particular en que X=0, la impedancia es resistiva pura.

Leyes de Kirchhoff fasoriales Considerando que las fuentes de tensión externas tienen la misma frecuencia (aunque no necesariamente en fase), se verifica que: Por lo tanto, se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff en una malla para tensiones fasoriales. Del mismo modo puede comprobarse la ley de Kirchhoff para corrientes fasoriales en un nodo, es decir:

Interconexiones de impedancias Impedancias conectadas en serie Sea el siguiente circuito Z1 Z2 Zn Como la corriente fasorial circula por cada impedancia, se tendrá: Por lo tanto:

Interconexiones de impedancias Admitancias conectadas en paralelo Sea el siguiente circuito Yn Y1 Y2 Teniendo en cuenta que , aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes fasoriales se puede demostrar que: Para el caso de dos admitancias en paralelo:

Interconexiones de impedancias Ejemplo Determinar el voltaje del nodo A (en estado estable) del siguiente circuito: I1 10 cos 1000t R1 10ohm R2 L1 10mH C1 100uF A Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “A”:

Interconexiones de impedancias Ejemplo (cont.) Resolviendo para A Reemplazando: Finalmente:

Resonancia en paralelo Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar señales en una banda estrecha de frecuencias y eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia estén fuera de dicha banda. El “ancho de banda” de un circuito selectivo de frecuencias se define como el intervalo de frecuencias que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae 3dB del valor máximo. Resonancia en paralelo Sea un circuito RLC paralelo como el indicado: R C Ient L Isal la ganancia de corriente será:

Resonancia en paralelo Por lo tanto: Sustituyendo en la ecuación de la ganancia, se tiene: Observando la expresión anterior, puede notarse que habrá una frecuencia para la cual el término imaginario se hace cero (para  C = 1 /  L). Esa frecuencia se conoce como “frecuencia de resonancia”, r , y en un circuito paralelo se determina cuando la admitancia Y es no reactiva.

Resonancia en paralelo Puede notarse que en condición de resonancia, al ser la admitancia puramente resistiva, la corriente aplicada y el voltaje a la salida estarán en fase. Teniendo en cuenta que la resonancia ocurre cuando rC=1/rL, entonces la frecuencia de resonancia puede determinarse como: Un circuito resonante es una combinación de elementos sen-sibles a la frecuencia, conectados de tal forma que sea capaz de proporcionar una respuesta selectora de frecuencias.

Resonancia en serie Considerando el siguiente circuito, la relación de voltajes es: R C L Vent Vsal Tal como sucedió en el circuito con los elementos en paralelo, puede notarse que el término imaginario se anula para la frecuencia de resonancia r , tal que rC=1/rL, la que queda definida por:

Análisis de circuitos y Función deTransferencia Análisis de circuitos en el dominio de la T.L. Redibujando el circuito visto en la clase anterior como: Vent R 1/sC Vsal Puede notarse que la tensión de salida es una fracción de la tensión de entrada, definida por el divisor de impedancias: Se llega a la misma Función de Transferencia anterior: Por lo tanto, puede inferirse que:

Análisis de circuitos en el dominio de la T.L. Elemento Dominio del Tiempo Dominio de Laplace Resistor Inductor Capacitor Es decir:

Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado Dada una EDO de orden “n”: aplicando TL con condiciones iniciales nulas, resulta: o bien: L La expresión: se conoce como “Función de Transferencia” del sistema.

Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado Para encontrar la relación entre la formulación de un sistema dada por su función de transferencia (FT) y la dada por las ecuaciones de estado (ED), puede partirse de (#), es decir: (#) Aplicando TL a la primera ecuación, resulta: y despejando, se tiene finalmente:

(a) (b) (##) Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado Para encontrar la FT, debe considerarse condiciones iniciales (CI) nulas, es decir: . Por lo tanto: (a) Aplicando TL a la segunda ecuación de (#), se tiene: (b) Reemplazando (a) en (b) y despejando, resulta finalmente: (##) Así, conociendo “A”, “b”, “c” y “d”, aplicando (##) puede obtenerse la FT de un sistema.

Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado La formulación en EE no es única. Para comprobar que existen infinitas representaciones en espacio de estado de un sistema, puede elegirse un vector que cumpla con: donde T es cualquier matriz cuadrada que tenga inversa (es decir, existe T-1). Por lo tanto, si se reemplaza en el expresión global de ecuación de estado: con:

FIN