RECTAS DIGITALES MEDIANTE EL ALGORITMO DE EUCLIDES RECTAS DIGITALES MEDIANTE EL ALGORITMO DE EUCLIDES. GEODÉSICAS CON CONCORDANCIA DE LÍMITES EN EL PLANO. José Manuel Castañeda Rodríguez. Manuel Israel Chaves Cano. Pablo Manuel Enríquez Santos. José Luis Espino Lladonosa.

Concepto de rectas digitales Definición de una recta digital a través del código de cadenas. Para que una línea sea una recta digital son necesarias las condiciones siguientes: Como máximo dos pendientes aparecen en la cadena, y si hay 2, difieren en 45º. Al menos una de las 2 pendientes aparece en las secuencias de longitud 1.

Concepto de rectas digitales 3) La otra pendiente aparece en secuencias de al menos 2 longitudes (excepto posiblemente en los finales de arco, donde las secuencias pueden estar truncadas), y si hay dos longitudes, difieren en 1. 4) Al menos una de las 2 longitudes aparece en secuencias de longitud 1, la otra aparece en secuencias de cómo máximo de 2 longitudes (excepto en los finales) que difieren en uno.

Algoritmo de Euclides 1. ENTRADA: Un pixel (u, v), con u > v > 0 y m.c.d.(u, v) = 1, 2. Sea b = v, a = u - v; 3. Sea M1 = H, M2 = D; ({H, D} es el alfabeto que usaremos) 4. Si b < a entonces 4.1 M2 = M1 + (M2)^-1; 4.2 a = a - b 4.3 Ir al paso 4 5. Si b > a entonces 5.1 M1 = M2 + (M1)^-1 5.2 b = b - a 5.3 Ir al paso 4 6. SALIDA: M2 + (M1)^-1. Nota: La operación + denota la concatenación de cadenas de palabras del alfabeto {H, D}, y (Mx)^-1 denota la palabra Mx escrita al revés

Demostración del algoritmo U=51 V=11 B=11 A=40 M1=H M2=D

Demostración del algoritmo b < a A = 29 B = 11 M1 = H M2 = HD

Demostración del algoritmo b < a A = 18 B = 11 M1 = H M2 = HDH

Demostración del algoritmo b < a A = 7 B = 11 M1 = H M2 = HHDH

Demostración del algoritmo b > a A = 7 B = 4 M1 = HHDHH M2 = HHDH

Demostración del algoritmo b < a A = 3 B = 4 M1 = HHDHH M2 = HHDHHHDHH

Demostración del algoritmo b > a A = 3 B = 1 M1 = HHDHHHDHHHHDHH M2 = HHDHHHDHH

Demostración del algoritmo b > a A = 2 B = 1 M1 = HHDHHHDHHHHDHH M2 =HHDHHHDHHHHDHHHHDHHHDHH

Demostración del algoritmo b > a A = 1 B = 1 M1 = HHDHHHDHHHHDHH M2 =HHDHHHDHHHHDHHHHDHHHDHHHHDHHHDHHHHDHH

Restricciones del algoritmo Coordenadas no primas entre si: la longitud total de la recta es inversamente proporcional al m.c.d. de las coordenadas u, v del punto destino. Rectas horizontales ya que tiene que darse u > v > 0. Rectas diagonales ( porque u = v). Solo podemos escribir en los primeros 45º no inclusive del primer cuadrante ya que u > v.

Soluciones dadas a las restricciones Coordenadas no primas entre si: dibujamos la recta tantas veces como el m.c.d. (calculado en a y b) de ambas coordenadas u, v. Horizontales: Escribimos “H” u veces. Diagonales: Escribimos “D” v veces. Para calcular rectas de inclinación de 45º a 90º se calcula la recta con las coordenadas intercambiadas sustituyendo las “H” por “V”. Las rectas de los cuadrantes restantes se calculan por simetría.

Geodésicas Distancia en la Superficie Estudio y comportamiento de rectas digitales en las superficies pertenecientes a figuras en el espacio tridimensional. Definición de distancia 4 adyacente: D4(p,q) = |x2 – x1| + |y2 – y1|. (esta será la medida de distancia utilizada en esta práctica).

Superficies estudiadas Cono Cilindro Esfera Toro Banda de Möbius Botella de Klein

Cono

Cilindro

Esfera

Toro

Banda de Möbius

Botella de Klein

Demostración de geodésicas Nuestra aplicación desarrolla dos actividades diferentes en las superficies presentadas: 1) Encuentra la distancia mínima entre dos puntos en estas superficies. 2) Resolución del problema del explorador en las distintas superficies.

Bibliografía Enlaces interesantes: http://interactiva.matem.unam.mx/hjw/ensmat/ http://xtsunxet.usc.es/cordero/miscelanea/ http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/ http://www.math.harvard.edu/preceptor/surfaces/index.html