Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 M.D.M. Arturo Corona Pegueros División Económica-Administrativa Carrera de Administración UTEQ

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Un objetivo de la matemática es poder analizar fenómenos para su control o mejor aprovechamiento. Una de las técnicas más apreciadas es la optimización. Ésta se puede lograr aplicando cálculo diferencial (máximos y mínimos) o bien con álgebra lineal, en el segundo caso se encuentra la Optimización Lineal

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Una empresa que realiza reciclaje tiene algunos inconvenientes para la recolección de vidrio y plásticos: el vidrio requiere 10 dm 3 de espacio en almacenaje por kilogramo, mientras que el plástico requiere 2 dm 3 por kilogramo (se puede comprimir y el vidrio debe estar entero) y se dispone de contenedores de 200 litros (dm 3 ).

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Pero por otro lado los costos de limpieza de cada uno es diferente: para el vidrio es de $7 por kilogramo y para el plástico es de $14 por kilogramo, en total los costos no deben exceder $980.

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Finalmente las utilidades que generan tampoco son iguales: El vidrio produce $11 por kilogramo mientras que el plástico produce $12 por kilogramo.

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La empresa puede colectar tanto vidrio y plástico como quiera, de manera que desea que la colección sea la que produzca la mayor utilidad posible. ¿Cuánto debe ser la cantidad de cada material, vidrio y plástico para lograr la máxima utilidad?

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Resumiendo las condiciones del problema tenemos: Por kilogramo Vidrio Plástico Total Almacenaje (dm 3 ) Costo ($) Utilidad ($)

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Primero ubicamos las incógnitas de nuestro problema. Sean El número de kilogramos de vidrio El número de kilogramos de plástico x:x:x:x: y:y:y:y:

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Ahora expresamos cada condición (restricción) en forma algebraica: Espacio: Costo: Naturales:

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Finalmente expresamos la condición que deseamos optimizar, a la cual llamamos (función objetivo) en forma algebraica:

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 De manera que el modelo matemático que expresa las condiciones y necesidades de nuestro ejercicio es el siguiente:

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Una forma de resolver el ejercicio es mediante la gráfica del sistema de inecuaciones:

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La región solución de cada desigualdad está sombreada:

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La región solución del sistema es la región verde. Los puntos rojos son los vértices de la región solución y uno de ellos es la combinación óptima.

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Notemos que cada vértice es la intersección de dos rectas, por tanto es la solución del sistema de ecuaciones correspondiente: v1 v2 v4 v3

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Podemos observar que el número de variables está dado por el número de materiales a reciclar, de manera que si tuviéramos dos materiales más, por ejemplo aluminio y cartón, el sistema de inecuaciones tendría cuatro variables, imposible de graficar en un plano. Para tales casos se utiliza un método algebraico denominado Método Simplex.

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 Sabemos que la solución es una de las intersecciones entre dos ecuaciones (un vértice en la gráfica) de manera que debemos trabajar con ecuaciones.

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 El método va calculando el valor de la función objetivo en cada vértice de la región solución, pasando de una solución posible a una solución mejor, hasta encontrar la solución óptima. Para ello se requiere expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial y operar con ella.

Optimización LinealUTEQ Arturo Corona PeguerosJul-2010 La forma en que se realiza la gráfica así como la forma matricial para el método Simplex, son temas que puedes revisar en las siguientes ligas: ¿Cómo graficar una función lineal? Método simplex Aqui

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