Dr. Jorge Bachs Ferrer 21 de julio de 2010 Técnicas operativas Fuzzy aplicadas a la gestión empresarial Institut d’Estadística i Matemàtica aplicada a l’Edificació Dr. Jorge Bachs Ferrer 21 de julio de 2010
LA TEORÍA DE LOS SUBCONJUNTOS BORROSOS Concepto de subconjunto borroso Consideremos un conjunto referencial E y un subconjunto ordinario A E de aquellos elementos que cumplen una característica concreta. En el caso de subconjuntos ordinarios sólo existen 2 posibilidades x E: “x” cumple la característica (x A) o “x” no la cumple (x A). Por ello, se define la “función característica” de A o “función de pertenencia” de A: x E: 1 si x A A (x) = 0 si x A De esta manera, se puede simbolizar un subconjunto ordinario A E a través del par (E, A (x)). Supongamos ahora que los elementos de A pueden tomar cualquier valor del intervalo [0, 1], es decir, que existen elementos de E que cumplen la característica que define el subconjunto A, pero en un cierto grado. Entonces, tendremos una función de pertenencia de A definida como: A (x): E[0, 1] X A (x)= [0, 1] De esta forma, se construye el subconjunto borroso (E, A (x)) que simbolizamos por A E
A continuación, se representa un subconjunto borroso A del referencial E = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} Y un subconjunto ordinario A del mismo referencial: En cuanto a la imagen de un elemento de X, que se expresa por , se llamará “nivel de presunción”.
Normalidad y convexidad en los subconjuntos borrosos Dado un subconjunto borroso A R diremos que es “normal” cuando: Es decir, cuando existe al menos un elemento cuya función de pertenencia toma el valor 1. Subconjunto borroso normal Subconjunto borroso no normal 1 1 0 X 0 X
Números borrosos triangulares Los números borrosos triangulares (NBT) son aquellos números borrosos cuyas funciones de pertenencia son lineales y tienen un valor único en el máximo de presunción. Gráficamente, se pueden representar de la siguiente forma: 1 A a1 a2 a3 R+
Numéricamente, se pueden expresar de diversas formas. Mediante la forma ternaria A = (a1, a2, a3) Estos tres números implican que: x a1 x a3 y que la función de pertenencia para los demás valores es: a1 x a2 a2 x a3
2. Mediante la función de pertenencia 0 x a1 3. Mediante la forma cortes Partiendo de la función de pertenencia se obtiene la forma cortes de la siguiente manera: = y = Obsérvese que este mismo resultado se puede obtener a partir de la forma ternaria: A = [a1 + (a2 a1), a3 (a3 a2)]
Caso base algoritmos de agregación Se pide a un grupo de expertos que de su opinión sobre 2 resultados futuros A y B. En un análisis previo, se ha considerado que el resultado A se encontrará en el intervalo de confianza [200, 300] y el resultado B en el intervalo [300, 400]. Resultado A Experto 1: [0.6 , 0.7] Experto 2: [0.4 , 0.6] Experto 3: 0.6 Experto 4: [0.5 , 0.8] Experto 5: [0.4 , 0.7] Resultado B Experto 1: [0.4 , 0.6] Experto 2: [0.2 , 0,6] Experto 3: [0.6 , 0.7] Experto 4: [0.5 , 0.6] Experto 5: [0.4 , 0.5] Se pide: 1) Calcular los R+ expertones de A y de B. 2) Calcular la esperanza matemática de la T-conorma: 1 () (A + B); de los expertones.
para calcular el expertón. A partir de él se obtiene el R+ expertón. Solución A partir de la opinión de los expertos calculamos las frecuencias y las frecuencias acumuladas para calcular el expertón. A partir de él se obtiene el R+ expertón. A 1 0.1 0.2 0.3 0.4 1 1 0.5 0.6 1 0.6 0.4 1 0.7 0 0.6 0.8 0 0.2 0.9 0 0 A 1 0.1 0.2 0.3 0.4 1 1 0.5 0.6 1 0.6 0.4 1 0.7 0 0.6 0.8 0 0.2 0.9 0 0 R+ -Expertón A 300 0.1 0.2 0.3 0.4 300 300 0.5 260 300 0.6 240 300 0.7 200 260 0.8 220 0.9 200 1 200 200 200 + [300-200]*
B 1 0.1 0.2 0.3 0.8 1 0.4 0.5 0.4 1 0.6 0.2 0.8 0.7 0 0.2 0.8 0 0 0.9 A 1 0.1 0.2 0.3 0.4 1 1 0.5 0.6 1 0.6 0.4 1 0.7 0 0.6 0.8 0 0.2 0.9 0 0 R+ -Expertón B 400 0.1 0.2 0.3 0.4 380 400 0.5 340 400 0.6 320 380 0.7 300 320 0.8 300 300 0.9 1 300 + [400-300]*
Primero calculamos la T-conorma: 1 () (A + B), para ello realizamos la operación nivel a nivel de 1 a 0 utilizando el sistema endecadario A 1 0.1 0.2 0.3 0.4 1 1 0.5 0.6 1 0.6 0.4 1 0.7 0 0.6 0.8 0 0.2 0.9 0 0 1 () (A + B) = Para calcular la esperanza matemática de un expertón basta con acumular sus valores de la izquierda, por una parte, y los de la derecha por otra, sin tener en consideración el nivel 1, dividiendo luego el resultado por 10. E(T) = (0.56, 0.7)
Caso base algoritmos/matemáticas de intervalos Los datos relativos a un determinado proyecto de inversión se recogen en las siguientes líneas: Desembolso inicial de 20000 u.m. pagaderas íntegramente en el momento inicial. Duración del proyecto 3 años. Los cobros relativos a la explotación para cada uno de los años: Año 1: [15000, 25000] u.m. Año 2: [20000, 30000] u.m. Año 3: [15000, 30000] u.m. Los gastos fijos ascenderán a [6000, 9000] u..m. anuales. Los gastos variables representan el 10% de los ingresos. El coste de capital del proyecto se sitúa entre el 6% y el 7% anual. Determinar el VAN del proyecto. Si se considera la opinión de los siguientes expertos sobre el VAN: Experto 1: [0.5, 0.7] Experto 2: [0.3, 0.6] Experto 3: [0.6, 0.9] Experto 4: 0.7 Determinar el nuevo VAN.
Solución Determinamos los flujos netos de caja de cada año: FNC1 = [15000, 25000] – [7500, 11500] = [3500, 17500] u.m. gastos totales : [6000, 9000] + [1500, 2500] = [7500, 11500] u.m. FNC2 = [20000, 30000] – [8000, 12000] = [8000, 22000] u.m. FNC3 = [15000, 30000] – [7500, 12000] = [3000, 22500] u.m. Coeficientes de actualización : Año 1: Año 2: Año 3:
Punto medio: u.m. Por lo que se espera que el proyecto de inversión sea interesante Esperanza matemática del expertón: 0.525 Esperanza matemática del VAN: Por lo que se espera que el VAN sea positivo.
Caso base algoritmos de relaciones Una empresa desea analizar el sector empresarial en el que se encuentra. Para ello, desea conocer como se encuentran relacionadas las empresas de dicho sector. En resumen, los expertos de la empresa detectan dos formas de trabajo diferenciado en las empresas. Debido a ello, las empresas se clasifican en dos conjuntos según si siguen el sistema de producción y venta A o el sistema de producción y venta B. En el sistema A, se detectan 4 empresas: A = {a1, a2, a3, a4}. Y en el sistema B, 3 empresas: B = {b1, b2, b3}. A partir de aquí, se analizan las matrices de incidencia directa de los elementos del conjunto A sobre los elementos del conjunto B, así como los de A entre sí y los de B entre sí. Los resultados son los siguientes: Se pide: Hallar la matriz de efectos olvidados.
Solución Se inicia el proceso de convolución: Se hallan las relaciones de incidencia totales: Finalmente, se calcula la matriz de efectos olvidados.
Caso base algoritmos de relaciones En un laboratorio farmacéutico se está ensayando un nuevo fármaco para la cura del acné juvenil bajo forma de píldoras para la ingestión bucal. La fórmula se compone de cinco elementos activos: E = {a1, a2, a3, a4, a5} Cada uno de ellos puede “potenciar” la eficacia del otro, en un determinado nivel. Se ha podido constatar, además, que cada uno de estos elementos incide, en mayor o menor grado, en diversos órganos del cuerpo humano. Se ha centrado la atención en los cuatro siguientes: E = {b1, b2, b3, b4} En donde: b1 = sistema nervioso b2 = sistema circulatorio sanguíneo b3 = sistema respiratorio b4 = sistema locomotor
Es conocida la incidencia de un sistema sobre los demás, también en un cierto grado. Después de realizar multitud de pruebas, los expertos han logrado llegar al acuerdo de establecer las matrices de incidencia directa de los elementos de E1 sobre los de E2, así como los de E1 entre sí y los de E2 entre sí. Son las siguientes: Se pide: Hallar la matriz de “efectos olvidados” señalando las dos relaciones en las que el grado de olvido es mayor. Hallar la incidencia acumulada de a3 sobre b2, así como el camino seguido para conseguir el efecto acumulado.
La imagen de un club deportivo, es un elemento fundamental para obtener medios financieros. En síntesis, los elementos básicos de esta imagen son los siguientes: A – Consecución de títulos B – Buen espectáculo deportivo C – Solidez financiera D – Buenas estrategias de marketing Las acciones a realizar para potenciar estos elementos son: a – contar con los servicios de grandes deportistas b – buen equipo técnico c – buena estructura organizativa Se establecen como relaciones de incidencia las siguientes Determinar los niveles de olvido en todas las relaciones a partir de la diferencia entre los efectos acumulados de primera y segunda generación y los efectos directos.
Caso base algoritmos de asignación Una empresa tiene en un momento determinado 2 puestos de trabajo vacantes A y B que desea cubrir. Los perfiles ideales vienen dados por los siguientes subconjuntos borrosos: Se presentan 3 candidatos P1, P2 y P3, a estas plazas con los siguientes perfiles: Se pide: Determinar el proceso de asignación utilizando el coeficiente de adecuación.
Solución Se utiliza la expresión del coeficiente de adecuación: 1 (1 Ideal + Real). ρ(P1, A) = ρ(P2, A) = 0.816 ρ(P3, A) = 0.866 ρ(P1, B) = 0.8 ρ(P2, B) = 0.85 ρ(P3, B) = 0.9 A continuación, se forma la matriz de acercamiento de la siguiente forma:
Y se pasa a resolver la asignación mediante el algoritmo de asignación por eliminación de filas y columnas. Se sigue con el proceso y nos queda: Por tanto, la asignación será la siguiente: P3 → B P2 → A P1 se queda sin asignación
Caso base algoritmos de asignación Una familia que desea comprar una vivienda analiza la oferta existente y preselecciona cuatro {I, II, III, IV}. Una vez estudiadas las características de las viviendas, se ha simplificado el análisis a cuatro variables (o características) principales {C1, C2, C3, C4} en forma de subconjuntos borrosos: Dado el perfil ideal de vivienda para esta familia: A = Y suponiendo los siguientes grados de importancia (pesos) para cada característica: w1 = 0.7; w2 = 0.6; w3 = 0.4; w4 = 0.3. Establecer el orden de preferencia entre las cuatro viviendas si se utiliza la distancia relativa de Hamming. Obtener las subrelaciones máximas de similitud para las variables (o características) del ejercicio anterior a un nivel: ≥ 0.82.
Solución Dado que la suma de los pesos es , calculamos el peso proporcional de cada característica sobre esta suma, w1 =0.35; w2 = 0.3 w3= 0.2; w4= 0,15. Y calculamos la Distancia de Hamming: Las subrelaciones máximas de similitud nos permitirá agrupar las características considerando el conjunto de todas las viviendas preseleccionadas. Necesitamos una matriz cuadrada, para ello calculamos la distancia de Hamming de cada una de las características respecto a las demás:
donde n es el cardinal de características tenidas en cuenta en cada caso Obteniendo:
Los pasos a seguir son los siguientes: Existen muchos procedimientos capaces de llevarnos a la obtención de las subrelaciones máximas de similitud. Nosotros utilizaremos el algoritmo de Pichat(1), cuya finalidad es la obtención de submatrices o grafos transitivos. Conviene recordar que este tipo de relaciones exige: simetría, reflexividad y transitividad. Hemos de fijar un nivel a partir del cual consideraremos que se cumple la homogeneidad entre las características, este nivel es completamente arbitrario, pero es necesario fijarlo, ya que, si imponemos un 1 estaremos exigiendo agrupaciones para características que se parezcan en un 100%, por lo que lo normal sería encontrar a cada uno de ellos de forma aislada, si por el contrario fijamos un nivel muy bajo, encontraremos un único grupo en el que todas son similares Los pasos a seguir son los siguientes: Para nuestro ejercicio utilizaremos como nivel a partir del cual aceptamos la similitud entre características, así formaremos una nueva relación booleana asignando: (1) Pichat, E., “Contribuction a l’algorithmique dans les ensambles ordennés”, Tesis doctoral de Ciencias. Universidad de Grenoble, 1970.
Obteniendo la relación borrosa: Habida cuenta de la existencia de simetría, consideraremos únicamente la parte superior de la diagonal principal. Se consideran sucesivamente los ceros de cada fila, es decir las celdas vacías, de la siguiente manera: Se multiplican los elementos de aquellas columnas vacías. Se realiza la suma booleana del índice de la fila con el producto anterior.
Las sumas halladas para cada fila se reunen mediante el producto booleano, en términos mínimos, según las reglas siguientes: ־ Las filas sin ceros son excluidas del producto. ־ Obteniendo el siguiente producto booleano en términos mínimos: Se obtiene una suma de productos de elementos, para cada sumando se obtiene su complemento con relación al referencial. Cada uno de estos términos complementarios proporciona una subrelación máxima de similitud. Por lo que las subrelaciones máximas de similitud son:
Caso base algoritmos de afinidades Se dispone de los perfiles de cuatro empresas {I, II, III, IV} en un sector industrial, en el cual se han analizado las cuatro variables más relevantes {V1, V2, V3, V4} en forma de subconjuntos borrosos: Dado el perfil ideal del sector industrial A: Se pide: a) ¿Qué empresa se ajustará más al sector industrial si se utiliza el coeficiente de adecuación?. b) Para el siguiente vector de umbrales para las variables de las diferentes empresas obtener las relaciones de afinidad.
Solución Para el cálculo del coeficiente de adecuación utilizamos la expresión: Por lo que su valor medio: Para el resto de empresas Por lo que la empresa que mejor se ajusta al sector industrial es la II.
La matriz booleana queda: Establecemos la conexión a la derecha: V1V2V3V4 II, III V3V4 IV2V3 II, IVV4 IIV1V3V4 III, IVV4 IIIV3V4 I, II, IIIV3 IVV2V4 I, II, IV I, IIV3 I, III, IV I, IIIV3 II, III, IVV4 I, IVV2 I, II, III, IV De forma que las afinidades serán: I, II, III, IV I, IVV2 I, II, IIIV3 II, III, IVV4 IV2V3 IVV2V4 II, III V3V4 IIV1V3V4 V1V2V3V4
Caso base algoritmos de ordenación Zizanilandia es un pequeño país paradisíaco en el cual su Presidente está especialmente preocupado por el grado de implantación y desarrollo de la tecnología en los diferentes departamentos de gestión. A este respecto se distinguen en el país los siguientes departamentos: A: Cultura B: Educación C: Juventud D: Presidencia E: PTOP F: Salud Concretamente, el Sr. Presidente de la República de Zizanilandia desea obtener una jerarquización de los diferentes departamentos con respecto el grado de tecnología aplicada en sus servicios y gestiones. Para ello ha recurrido a la consulta de cuatro expertos los cuales nos facilitan sus impresiones (expresadas éstas en término medio) mediante el siguiente grafo donde la flecha indica la preferencia de un departamento sobre otro:
A F B E E C D Se Pide: Determinar si existen o no circuitos en el grafo y si es así cuáles son las diferentes clases de equivalencia. Determinar la jerarquización de los diferentes departamentos con respecto el grado de implantación de la tecnología utilizando para ello el método gráfico y el algoritmo de Demoocrom.
Solución Para determinar si existen o no circuitos en el grafo podemos utilizar el algoritmo de Malgrange. Para ello necesitamos expresar el grafo en forma matricial Comenzamos escogiendo, al azar uno de los vértices, por ejemplo el vértice A, y obtenemos el cierre transitivo y el cierre transitivo inverso:
Una primera clase de equivalencia nos vendrá dada por la intersección entre el cierre transitivo y el cierre transitivo inverso de A: (A) (A)= A, B, C, D, E, F A = A Por lo que una primera clase de equivalencia estará formada por el elemento A: C1=A Eliminamos filas y columnas de los vértices que pertenecen a alguna clase de equivalencia, en este caso A. Por lo que obtenemos una nueva matriz y escogemos el elemento B para obtener nuevamente el cierre transitivo y el cierre transitivo inverso: (B) (B)= B B, C, D, E, F = B Por lo que la segunda clase de equivalencia: C2=B
Quedando la siguiente matriz: (C) (C)= C, D, E C, D, E, F = C, D, E Siendo la tercera clase de equivalencia: C3= C, D, E Por lo que eliminando las filas y columnas, nos queda únicamente el elemento F por lo que la cuarta clase de equivalencia es: C4=F Por lo que la matriz no está asociada a un grafo fuertemente conexo y el orden que obtendremos será parcial.
A C1 F B C2 C4 E C C3 D Ordenación según el método gráfico: C1 C4 C2 C3
Por lo que el primer elemento es C1 Por lo que el primer elemento es C1. Volvemos a dibujar el gráfico pero sin considerar C1. Ordenación: C1C4 C3C2 C4 C2 C3 C3 C2
Aplicación del algoritmo de Demoocrom: Llegando al mismo resultado: C1 C4 C3 C2 Trasladado a elementos del conjunto: A F C, D, E B En términos de departamentos: Cultura sería el que ocupa el primer puesto, seguido del departamento de Salud. En tercer lugar estarían Juventud, Presidencia y PTOP y por último el peor posicionado Educación. Por lo que cabría hacer mayores esfuerzos de impulso tecnológico sobre los departamentos peor posicionados.