Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V. Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso OPERACIONES 2 Transbordo Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V. Pablo Diez Bennewitz

MODELO DE TRANSBORDO Se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envío de recursos entre las distintas fuentes (oferta) y destinos (demanda) Se construye una malla con orientación desde las fuentes (nodos de inicio) hacia los destinos (nodos de llegada), utilizando amortiguadores (nodos transitorios) que permiten recibir y transferir recursos. Las flechas que unen los nodos de la malla representan los eventuales flujos de recursos en la secuencia de distribución

MODELO DE TRANSBORDO Luego, la malla permite convertir un modelo de transbordo en un modelo de transporte regular y resolverse como tal, utilizando los amortiguadores Así, la malla reconoce tres tipos de nodos: Nodos puros de Oferta: solo transfieren recursos Nodos de Transbordo: entregan y reciben recursos Nodos puros de Demanda: solo reciben recursos El amortiguador debe ser suficientemente grande para permitir que los recursos se transfieran desde las fuentes hacia los destinos

ESQUEMA DE TRANSBORDO Un esquema simple del modelo de transbordo se expresa como una red de modelo de asignación: F1 A1 D1 F2 A2 D2 F3 Nodos puros de Oferta Nodos de Transbordo Nodos puros de Demanda

EJEMPLO DE TRANSBORDO Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de acuerdo con la red que se muestra en la siguiente diapositiva Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2, son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500 automóviles. El costo de envío por automóvil (en cientos de pesos) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red

RED - MODELO DE ASIGNACION 800 8 P1 3 1000 T1 5 6 4 D2 900 2 4 5 P2 T2 1200 3 9 D3 500

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas: 1.- Comprensión del problema (lectura en detalle) 2.- Definición de las variables de decisión 3.- Descripción de la función objetivo 4.- Identificación de las restricciones del problema

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Se plantea identificando como variables de decisión a todas las posibilidades de flujos de asignación, a transferir entre los nodos de la red de transbordo Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados al transbordo Las restricciones corresponden a un balance de transferencia de unidades para cada nodo de la red de asignación, sin olvidar la condición de no negatividad

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Red para plantear el PPL: D1 800 XT1D1 XP1T1 T1 P1 1000 XD1D2 XT1D2 XP1T2 D2 900 XP2T1 XT2D2 XP2T2 P2 1200 T2 XD2D3 XT2D3 D3 500

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3 s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T2 1200 = XP2T1 + XP2T2 XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2 XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3 XT1D1 = XD1D2 + 800 XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900 XT2D3 + XD2D3 = 500 Xij > 0

EJEMPLO DE TRANSBORDO El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200 (1000 + 1200) automóviles en los nodos P1 y P2, requiere pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T1 y T2) ,antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D1, D2 y D3 Nodos puros de Oferta Nodos de Transbordo Nodos puros de Demanda P1, P2 T1, T2, D1, D2 D3 El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)

NODOS PUROS DE OFERTA Y NODOS PUROS DE DEMANDA Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros de demanda, queda: Oferta en un Nodo puro de Oferta Oferta Original Un nodo puro de oferta no posee amortiguador Demanda en un Nodo puro de Demanda Demanda Original Un nodo puro de demanda no posee amortiguador

Oferta en un Nodo de Transbordo Demanda en un Nodo de Transbordo NODOS DE TRANSBORDO Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se establece de acuerdo a: Oferta en un Nodo de Transbordo Oferta Original + Amorti- guador La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se encuentra oferta original Demanda en un Nodo de Transbordo Demanda Original Amorti- guador + La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en ocasiones hay demanda original

NODOS DE TRANSBORDO La oferta del nodo de transbordo T1 sí posee oferta original, mientras que la oferta del nodo de transbordo T2 no posee oferta original 200 D1 400 P1 T1 500 D2 400 300 P2 T2 D2 200

NODOS DE TRANSBORDO La demanda del nodo de transbordo T1 no posee demanda original, mientras que la demanda del nodo de transbordo T2 sí posee demanda original D1 300 P1 T1 400 D2 200 600 P2 T2 D2 300 200

EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 T2 D1 D2 D3 Ofta 3 4 M M M P1 1000 2 5 M M M 1200 M M 8 6 M B1 T1 M M M 4 9 B2 T2 M M M 5 M B3 D1 M M M M 3 B4 D2 B1 B2 800+B3 900+B4 Dda 500 Se obtiene la 1ª solución mediante método de Vogel

PROBLEMA DE TRANSBORDO MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSBORDO D1 800 XT1D1 XP1T1 T1 P1 1000 XD1D2 XT1D2 XP1T2 D2 900 XP2T1 XT2D2 XP2T2 P2 1200 T2 XD2D3 XT2D3 D3 500

PROBLEMA DE TRANSPORTE MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSPORTE XP1T1 P1 1000 XP1T2 XP2T1 T1 P2 1200 XP2T2 T2 XT1D1 T1 D1 800 XT2D2 XT1D2 T2 XT2D3 D2 900 XD1D2 D1 D3 500 XD2D3 D2

EJEMPLO DE TRANSBORDO Obtener la primera solución factible mediante Vogel, implica asignar el máximo número de unidades posible en las celdas de menor costo marginal, según los sucesivos gradientes No obstante, en ocasiones, la celda de menor costo marginal puede asociarse con un máximo número de unidades determinado por los amortiguadores. Luego, se requiere definir los rangos posibles para cada amortiguador 800 < B1 < 2200 0 < B3 < 1400 0 < B2 < 1400 0 < B4 < 500

* * * * * * EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 T2 D1 D2 D3 Ofta 3 4 M M M P1 Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 T2 D1 D2 D3 Ofta 3 4 M M M P1 1000 1000 1 2 5 M M M P2 800 400 1200 3 3 M M 8 6 M T1 B1 2 M 800 M M M M 4 9 T2 B2 1400 5 M M M M M 5 M D1 B3 M * M M M M 3 D2 B4 500 M M * B1 Dda B2 800+B3 900+B4 500 1 1 M 1 6 * * * * Pablo Diez Bennewitz

EJEMPLO DE TRANSBORDO Al calcular los gradientes del método de Vogel, se van obteniendo los valores de los amortiguadores Valores de los amortiguadores: B1 = 800 B2 = 1400 B3 = 0 B4 = 500 Si es que hay 2 o más gradientes de igual valor (como sucede con los gradientes + M ), entonces se asigna el máximo número de unidades posibles en aquella celda de menor costo unitario de transporte

EJEMPLO DE TRANSBORDO 1ª asignación: XD2D3 = 500, gradiente fila D2 = M 2ª asignación: XT1D2 = 1400, gradiente fila T2 = M 3ª asignación: XT1D1 = 800, gradiente fila T1 = M 4ª asignación: XP2T1 = 800, gradiente fila P2 = 3 5ª asignación: XP1T2 = 1000 6ª asignación: XP2T2 = 400 Asignación manual Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optima-lidad e iterar vía simplex si es que se requiere

Deben ingresarse cuatro valores 0 a la base EJEMPLO DE TRANSBORDO Sin embargo, la asignación inicial mediante método de Vogel tiene solamente 6 variables básicas m + n - 1 = 10 Deben ingresarse cuatro valores 0 a la base XT1T2 = 0, XT2T2 = 0, XD1T2 = 0, XD2T2 = 0 Luego, se deben calcular los precios sombra para verificar si la solución básica factible es o no es óptima

EJEMPLO DE TRANSBORDO T1 T2 D1 D2 D3 Ofta 3 4 M M M P1 1000 1000 2 5 M 800 400 1200 M M 8 6 M T1 B1 800 M M M 4 9 T2 B2 1400 M M M 5 M D1 B3 M M M M 3 D2 B4 500 B1 Dda B2 800+B3 900+B4 500 Se deben calcular todos los precios sombra

EJEMPLO DE TRANSBORDO > T1 T2 D1 D2 D3 Ofta 3 4 M M M P1 +2 1000 5 M M M P2 +M +M +M 800 400 1200 M M 8 6 M T1 E E E B1 800 M M M 4 9 T2 E E E B2 1400 M M M 5 M D1 E E E B3 E M M M M 3 D2 E E E B4 500 B1 Dda B2 800+B3 900+B4 500 > Ya que A Solución óptima ij i,j XJ

La solución no es única, pues es una solución degenerada EJEMPLO DE TRANSBORDO Solución óptima del ejemplo de transbordo: XJ = ( XP1T2, XP2T1, XP2T2, XT1T2, XT1D1, XT2T2, XT2D2, XD1T2, XD2T2, XD2D3 ) XP1T2 = 1000 XT2T2 = 0 La solución no es única, pues es una solución degenerada XP2T1 = 800 XT2D2 = 1400 XP2T2 = 400 XD1T2 = 0 XT1T2 XD2T2 = 0 = 0 XD2D3 XT1D1 = 800 = 500 Z = (1000*4) + (800*2) + (400*5) + (800*8) + (1400*4) + (500*3) = 21.100 ($100)