Modelos Cuantitativos Modelos de Redes

Introducción 1.. Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones, las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza ampliamente en áreas tan diversas como producción, distribución, planeación de proyectos, etc. La representación en redes proporciona un panorama general muy poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre las componentes de un sistema.

Introducción 2.. Muchos modelos de optimización de redes son en realidad tipos especiales de problemas de programación lineal. Ejemplos: Problema del Transporte Problema de Asignación

Ejemplo Prototipo

Problema Servaada Park. En fecha reciente se reservó el área de SEERVADA PARK para paseos y campamentos. No se permite la entrada de automóviles pero existe un sistema de caminos angostos con curvas para tranvías y “jeeps” conducidos por los guardabosques. El parque contiene un mirador a un hermoso paisaje en la estación T. Unos cuantos tranvías transportan a los visitantes desde la entrada a la estación T y de regreso.

Problema de Servaada Park. 2 T E C 5 4 7 1 3 Leyenda O Entrada T Mirador ___ Caminos A-F Estaciones de GB # Distancias en millas Problemas: Determinar la distancia más corta desde la entrada al mirador. Instalación de líneas teléfonicas subterráneas entre todas las estaciones siguiendo los caminos y con un mínimo de millas. En temporada alta, encontrar alternativas de O a T que maximicen número total de viajes sin saturar capacidades de caminos

Terminología de Redes

Términos I Nodos o vértices: Intersecciones entre líneas. B D T E C Arcos o aristas: Líneas.

Términos II Arco dirigido: Arco con flujo en una sola dirección. A B D

Términos III Arco no dirigido o ligadura: Arco con flujo en ambas direcciones. A B D E C

Términos IV Red dirigida: Red con todos los arcos dirigidos. A B D E C

Términos V Red No dirigida: Red con todos los arcos dirigidos. (se puede convertir a dirigida con doble arco dirigido en dir opuestas entre véritces). A B D E C

Términos VI Trayectoria entre dos nodos: Sucesión de arcos distintos que conectan a los nodos. Puede ser dirigida o no. Trayectoria dirgida. A B D E C

Términos VII Trayectoria entre dos nodos: Sucesión de arcos distintos que conectan a los nodos. Puede ser dirigida o no. Trayectoria no dirgida. A B D E C

Términos VII Ciclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo modo. A B D E C

Términos VIII Nodos conectados: Nodos entre los cuales existe una trayectoria. A B D E C

Términos IX Red conexa: Red en que cada par de nodos está conectado. A B D E C

Términos X Arbol: Red conexa sin ciclos. n nodos y n-1 arcos. A B D E

Términos XI Capacidad del arco: Cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido. Nodo fuente: El flujo que sale del nodo excede el flujo que entra a él. Nodo demanda (nodo destino): El flujo que llega excede a el flujo que sale. Nodo trasbordo: El flujo que sale del nodo es igual a el flujo que entra a él.

Problema de la Ruta más corta

El objetivo es encontrar la ruta más corta del origen al destino. Planteamiento Partimos de una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura se le asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta del origen al destino.

Algoritmo de la Ruta más corta Objetivo de la n-esima iteración: Encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos ressueltos, el resto son no resueltos).

Algoritmo de la Ruta más corta II Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales). Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: Para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a ese nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera la distancia.

Ejemplo de Seervada Park Ruta 1 Ruta 2

Solución en EXCEL

Variables de decisión

Solución en Excel SEERVADA PARK Ruta Más Corta

Problema del árbol de expansión mínima

Planteamiento Se considera una red no dirigida y conexa en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva (distancia, costo, tiempo) asociada con cada ligadura. Seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total más corta entre cada par de nodos.

Ejemplos A O B D T E C Red no conexa. No es árbol A O B D T E C Red con ciclos. No es árbol de expansión

A A T T 2 5 2 4 B D B D O O Árbol de expansión n nodos n-1 arcos 7 4 C E C E

Algunas aplicaciones Diseño de redes de telecomunicaciones. Diseño de redes de transporte par minimizar el costo toatl de proporcionar las ligaduras. Red de transmisión de energía de alto voltaje. Diseño de red de tuberías para conectar varias localidades

Algoritmo Se selecciona de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. Si hay empates se elige cualquiera de forma arbitraria.

Aplicación del algoritmo al problema de SEERVADA 7 5 2 2 4 5 B D O 7 3 1 1 4 C E 4

Aplicación del algoritmo al problema de SEERVADA. Empezando por otro nodo A T 7 5 2 2 4 5 B D O 7 3 1 1 4 C E 4

Problema del flujo máximo

Problema del flujo máximo para Seerveda Park 3 A T 1 9 5 7 B 4 D Leyenda O Entrada T Mirador Rutas A-F Estaciones de GB # Límite sup. de viajes O 5 4 2 1 6 4 C E

Solución factible A O B D 5 T E C 7 4 3 9 1 6 2 5 viajes Invalidada Leyenda O Entrada T Mirador Rutas A-F Estaciones de GB # Límite sup. de viajes 5 viajes Invalidada 1 viaje 1 viaje

Planteamiento Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente y termina en otro nodo llamado destino (O y T resp para S. Park) Los nodos restantes son de transbordo (A,B,C,D,E para S. Park) Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalente, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

Aplicaciones Maximizar el flujo a través de la red de distribución de la compañía de sus fábrica a sus clientes. Maximizar el flujo a través de la red de suministros de la compañía de los proveedores a las fábricas. Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías. Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de acueductos. Maximizar el flujo de vehículos por una red de trasnporte.

Solución en EXCEL

Solución en Excel SEERVADA PARK Flujo Máximo

Solución óptima A O B D T E C 7 3 4 7 viajes Leyenda O Entrada T Mirador Rutas A-F Estaciones de GB # Límite sup. de viajes 7 viajes

Ejemplos

Problema 8 Planteamiento La Wisman Candy Co. fabrica diversas golosinas. Se utilizan camiones de la compañía para entregar en forma directa los pedidos a los expendios. Determine la ruta más corta para un camión que debe hacer entregas partiendo del nodo 1 al 11.

Problema 8 pág 407 Wisman Candy Formalización 5 1 4 3 6 7 9 8 11 2 10

Problema 8 Pag 407 Wisman Candy Solución Excel Ruta 1-4-3-8-10-11

Problema 8 Wisman Candy Sol. 5 1 4 3 6 7 9 8 11 2 10

Problema 16 Carreteras de Albany pag 411 ¿Cuál es el Flujo Máximo en este sistema de carreteras de Albany? (flujos de vehículos por hora en miles) 4 4 2 5 6 2 2 3 2 2 1 3 4 6 3 6 3 3 3 2

Problema 16 Carreteras de Albany Sol EXCEL