Problemas de Mecánica de Medios Continuos TEMA 10 MECÁNICA DE FLUIDOS

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En la figura se presenta un disco de radio R. El disco gira con velocidad angular constante  a una distancia “a” de una superficie horizontal. Entre el disco y dicha superficie se encuentra un fluido de comportamiento Newtoniano con viscosidad . z R  a r 

Planteamiento de problema Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis: H1 Pueden despreciarse las fuerzas de inercia por ser el movimiento suficientemente lento. H2 Fluido incompresible. H3 No se considera el efecto de la paredes laterales (se desprecian los efectos del rozamiento fluido-pared lateral). H4 Se considerará que el campo de velocidades varía linealmente con la distancia a la superfície inferior. H5 Flujo en régimen estacionario.

vz vr v Planteamiento de problema 1) Se pide : La expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones de contorno. R z r vz vr v

vz v vr a Planteamiento de problema 2)  Se pide : Dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno. a  z r vz v vr

z Planteamiento de problema 3) P P P P P Se pide : La expresión de la presión y de la tensión tangencial z. z d dr a z d dr a P z P P P P

a Planteamiento de problema 4) M Se pide : El valor del momento M a aplicar en el eje del disco para mantener el movimiento. R r a M

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Para encontrar el campo de velocidades y la expresión de la presión seguiremos los siguientes pasos de resolución. Paso 1) Determinar el sistema de coordenadas. Paso 2) Establecer hipótesis respecto la velocidad y la presión. Paso 3) Aplicar la ecuación de continuidad. Paso 4) Aplicar las ecuaciones de NAVIER-STOKES. Paso 5) Imponer las condiciones de contorno del problema.

Resolución del problema Paso 1) Determinar el sistema de coordenadas. Dada la geometría de la figura, se utilizará un sistema de coordenadas cilíndricas.  z x y r z’ y’ x’ êr êz ê

v Resolución del problema 1) Se pide la expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones de contorno. Paso 2) Establecer hipótesis respecto a la velocidad y a la presión. i) Puesto que nos encontramos con un movimiento de rotación, podemos suponer que las componentes y del campo de velocidades son nulas. R Z r v

Resolución del problema ii) Al suponer simetría de revolución concluimos que el campo de velocidades no depende de . iii) Recordemos que, según las hipótesis del enunciado, se considera que el campo de velocidades varía linealmente con la distancia a la superfície inferior (z). Luego: iv) Por simetría de revolución suponemos que la expresión de la presión tampoco depende de .

Velocidades: Presión: Resolución del problema Después de realizar las tres hipótesis anteriores, tenemos que: Velocidades: Además, la presión sólo depende de las variables r y z. Presión:

Resolución del problema Paso 3) Aplicar la ecuación de continuidad. Imponemos la conservación de la masa, que en su forma local espacial corresponde a la ECUACIÓN DE CONTINUIDAD: El fluido es incompresible y por tanto la densidad de las partículas no varía con el tiempo, por lo que: Fluido incompresible Imponiendo entonces la condición de incompresibilidad, se obtiene: Puesto que la densidad es no nula y constante queda:

Resolución del problema Luego: Con lo cual: Como Como Como Con las hipótesis realizadas se verifica la ecuación de continuidad.

es el vector de fuerzas másicas. Resolución del problema Paso 4) Aplicar las ecuaciones de NAVIER-STOKES. Como Como Como Como Como Recordemos las fórmulas generales de NAVIER-STOKES en coordenadas cilíndricas para un fluido incompresible con  y  constantes: Componente r: es el vector de fuerzas másicas. Luego Componente : Componente z:

(1) (2) (3) Resolución del problema NAVIER-STOKES En conclusión, las ecuaciones de NAVIER-STOKES quedan expresadas de la forma: (1) (2) (3) NAVIER-STOKES

PRESIÓN: Resolución del problema P Ahora podemos integrar las ecuaciones resultantes de aplicar NAVIER-STOKES para encontrar el CAMPO DE VELOCIDADES, tal y como se pide en este apartado, y también la expresión de la PRESIÓN. Integrando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la expresión general de la PRESIÓN: PRESIÓN: P z d dr a

Resolución del problema Integrando una vez la ecuación (2) obtenemos la expresión: Volviendo a integrar la expresión anterior tendremos: Ahora ya podemos despejar el término , el único no nulo del campo de velocidades.

v Resolución del problema Obtenemos la expresión: El campo de velocidades varia linealmente con la distancia a la superficie inferior. H4 Recordemos: Hemos hallado la expresión general de donde y son funciones lineales en z: R Z r v

. v a Resolución del problema 2)  Se pide dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno. La resolución de este apartado se trata de imponer las condiciones de contorno en la expresión de obtenida en el apartado anterior para encontrar el valor de y de . a  Z r v

i) Para r=0 sabemos que la velocidad no es infinita. Resolución del problema Paso 5) Imponer las condiciones de contorno del problema. Las CONDICIONES DE CONTORNO del problema son: i) Para r=0 sabemos que la velocidad no es infinita. En Luego

ii) Imponemos la condición de adherencia. Para z=0, debe ser nula. Resolución del problema ii) Imponemos la condición de adherencia. Para z=0, debe ser nula. En Luego con lo cual: Luego

Resolución del problema iii) Para z=a imponemos que la componente sea la misma que la velocidad del disco (condición de adherencia). En Luego

Resolución del problema Luego y Y substituyendo en la fórmula general que habíamos obtenido en el primer apartado, encontramos la expresión del CAMPO DE VELOCIDADES después de aplicar las condiciones de contorno.

PRESIÓN: Resolución del problema 3) Se pide la expresión de la presión y de la tensión tangencial z. Recordemos que el valor de la presión ya lo hemos obtenido en el primer apartado integrando las ecuaciones de NAVIER-STOKES. PRESIÓN: Y el valor de la tensión tangencial z se obtiene aplicando la expresión:

z Resolución del problema (del apartado anterior) Como ya conocemos el valor del campo de velocidades y el valor de la viscosidad  es dato del problema podemos obtener la expresión de : (del apartado anterior) (dato del problema) Z z Luego:

Resolución del problema 4) Se pide el valor del momento M a aplicar en el eje del disco para mantener el movimiento. En este apartado se pide el momento a aplicar sobre el disco, por lo tanto tenemos que trabajar sobre el sólido rígido y no sobre el fluido como habíamos hecho en los apartados anteriores. Para encontrar el momento M tenemos que hacer equilibrio de momentos en el disco. La única componente del tensor de tensiones que actúa sobre el disco es . En el apartado anterior hemos obtenido en el fluido y no en el disco.

z Resolución del problema sobre el disco sobre el fluido Recordemos el criterio de signos del tensor de tensiones en un elemento diferencial en coordenadas cilíndricas: Z d dr M Z z sobre el fluido sobre el disco Luego, por el principio de acción-reacción, la tensión tangencial en la placa es igual que en el fluido pero de signo contrario.

Observemos que d=rd dr. Resolución del problema El valor del momento M se obtiene al aplicar la siguiente integral: Como Luego: r M z d= r·d·dr O lo que es lo mismo: Observemos que d=rd dr.

Resolución del problema Si en la expresión de M sustituimos z (obtenido en el apartado anterior) e imponemos los límites de integración, tenemos que: Integrando una vez: Si volvemos a integrar:

a Resolución del problema M Reordenando la expresión de M ya obtenida: Z a M