SOBRE LA CONSTRUCCION AXIOMATICA DE LOS NUMEROS NATURALES I ESCUELAS DE MATEMATICA DE AMERICA LATINA Y DEL CARIBE- EMALCAS SOBRE LA CONSTRUCCION AXIOMATICA DE LOS NUMEROS NATURALES I DR. RAFAEL LABARCA B. PROFESOR DE MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

CONTAR UNA DE LAS COSAS MAS ANTIGUAS QUE SABE HACER EL HOMBRE ES CONTAR. PARA ELLO REQUIERE DE OBJETOS PARA SER CONTADOS: UN PALOTE, DOS PALOTES, TRES PALOTES,…..,DIEZ MILLONES DE PALOTES… ENTRETANTO, CONTAR NO ES SOLO ENUMERAR OBJETOS: TAMBIEN ES COMBINAR: POR EJEMPLO : ¿ CUANTOS RESULTADOS POSIBLES TIENE UN DADO NORMAL EQUILIBRAD0?. TODOS DIJERON SEIS….Y NO ES QUE LO ESTEN MOSTRANDO. ES EL NUMERO DE RESULTADOS POSIBLE DEL HECHO DE TIRAR UN DADO(EQUILIBRADO..). UNA ALGO MAS DIFICIL: SI SUPONEMOS QUE AQUÍ EN EL AUDITORIO HAY N PERSONAS ENTONCES CIERTAMENTE HABRA P, PERSONAS, CON P ≤ [N/7], QUE NACIERON EN UNO DE LOS DIAS DE LA SEMANA Y HABRA Q PERSONAS, CON Q ≥ [N/7], QUE NACIERON EN OTRO DIA DE LA SEMANA.

CONTAR SABER LO ANTERIOR YA NO ES TAN ANTIGUO NI INTUITIVO. ASI QUE UNA COSA QUE HACEMOS ES CONTAR, DE DIVERSAS FORMAS, Y PARA ELLOS ASOCIAMOS SIMBOLOS A CANTIDADES. POR EJEMPLO, TODOS AQUÍ SABEMOS QUE NO ES LO MISMO OCHO MANZANAS QUE OCHO NARANJAS, PERO, DE COMUN TIENEN QUE SON OCHO OBJETOS. CONCLUIMOS QUE HAY UNA COSA ABSTRACTA QUE SE LLAMA OCHO. TAMBIEN QUE HAY UNA COSA ABSTRACTA QUE SE LLAMA TRESCIENTOS VEINTICINCO MIL BILLONES CUATROCIENTOS VEINTITRES MILLONES SEISCIENTOS VEINTICINCO MIL OCHOCIENTOS TRES, IMAGINENSE DE DOLARES

NUMEROS CONCLUIMOS QUE CONTAR OBJETOS ES INTUITIVO PERO ASOCIAR SIMBOLOS A ESTA ENUMERACION DE OBJETOS NO LO ES. LOS MATEMATICOS, A LO LARGO DE LOS AÑOS, HAN TENIDO VARIAS FORMAS DE JUSTIFICAR ESTOS SIMBOLOS Y DE CONVENCER QUE REPRESENTAN LO QUE DICEN QUE REPRESENTAN. AQUÍ DARE (SOMERAMENTE) LA EXPLICACION DE LA CONSTRUCCION AXIOMATICA DE LOS NUMEROS NATURALES Y LAS OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE NUMEROS. TENEMOS QUE PARTIR DE ALGO QUE ACEPTAMOS COMO CIERTO: QUE TAL: EXISTEN CONJUNTOS Y LOS CONJUNTOS TIENEN ELEMENTOS. O ENTONCES:

NUMEROS CONJUNTO DENOMINARA UNA COLECCION BIEN DEFINIDA DE OBJETOS. LOS CONJUNTOS TIENEN ELEMENTOS. AQUÍ HAY DOS CONCEPTOS QUE LLAMAREMOS PRIMITIVOS(CONJUNTOS Y ELEMENTOS). TAMBIEN: HAY UNA RELACION NO DEFINIDA ENTRE CONJUNTOS Y ELEMENTOS: LA PERTENENCIA, LOS ELEMENTOS PERTENECEN A LOS CONJUNTOS. SE DENOTA x Є A , PARA DECIR QUE EL ELEMENTO x PERTENECE AL CONJUNTO A. AXIOMA DE EXTENSION: DOS CONJUNTOS SON IGUALES SI Y SOLO SI TIENEN LOS MISMOS ELEMENTOS.

EL CONJUNTO A ES IGUAL AL CONJUNTO B SI TODO ELEMENTO DE A ES ELEMENTO DE B(DENOTADO A С B) y TODO ELEMENTO DE B ES ELEMENTO DE A(DENOTADO B С A). EJEMPLOS DE CONJUNTOS: A={ RIOS DE AMERICA}, B={RIOS DE CHILE} CLARO QUE B С A Y QUE A≠ B. TAMBIEN PODRIAMOS ESCRIBIR: B={ x Є A; x es rio de Chile}, O SEA B SERIA UNA ESPECIFICACION DE ALGUNOS ELEMENTOS DE A. AXIOMA DE ESPECIFICACION: A TODO CONJUNTO A Y A TODA CONDICION S(x), CORRESPONDE UN CONJUNTO B CUYOS ELEMENTOS SON PRECISAMENTE AQUELLOS x DE A QUE CUMPLEN S(x). ESTE AXIOMA AYUDA A CONSTRUIR CONJUNTOS A A PARTIR DE UN CONJUNTO DADO.

NUMEROS YA TENEMOS SUFICIENTES ELEMENTOS PARA CONSTRUIR LOS NUMEROS: PRIMERO: ACEPTAMOS QUE EXISTE UN CONJUNTO A. SEGUNDO: SEA B={x Є A; x≠x}. COMO NO HAY ELEMENTO DE A QUE SEA DISTINTO DE SI MISMO CONCLUIMOS QUE B ES UN CONJUNTO SIN ELEMENTOS QUE LO LLAMAREMOS EL CONJUNTO VACIO Y LO DENOTAREMOS Φ. LLAMAREMOS A ESTE CONJUNTO EL CERO. CONCLUSION: EL CERO EXISTE.

NUMEROS PARA EFECTOS DE CONSIDERAR EL CONJUNTO VACIO COMO NUMERO LO DENOTAMOS 0 = Φ. COMO EL CERO EXISTE CONSTRUIMOS {0} Y LE LLAMAMOS 1, COMO 1 EXISTE CONSTRUIMOS {0,1} Y LE LLAMAMOS 2, COMO 2 EXISTE CONSTRUIMOS {0,1,2} Y LE LLAMAMOS 3, COMO 3 EXISTE CONSTRUIMOS EL CONJUNTO {0,1,2,3} Y LE LLAMAMOS 4,….Y ASI SUCESIVAMENTE. ESTO NO GARANTIZA QUE EXISTEN TODOS LOS NUMEROS NATURALES: APENAS GARANTIZA QUE EXISTAN TODOS LOS NUMEROS QUE CON PACIENCIA SEAMOS CAPACES DE CONSTRUIR. EN PARTICULAR EL CERO ES EL PRIMER NUMERO NATURAL….

NUMEROS TENEMOS QUE DAR UN PAR DE CONCEPTOS ADICIONALES. AXIOMA DE LA UNION PARA TODA COLECCIÓN DE CONJUNTOS EXISTE UN CONJUNTO QUE CONTIENE A TODOS LOS ELEMENTOS QUE PERTENECEN CUANDO MENOS A UNO DE LOS CONJUNTOS DE LA COLECCIÓN DADA. O SEA, QUE SI Ϛ ES UNA COLECCIÓN DE CONJUNTOS Y XЄϚ ENTONCES EXISTE UN CONJUNTO U TAL QUE para todo xЄX VALE xЄU. LUEGO PODEMOS DEFINIR LA UNION DE LOS ELEMENTOS DE Ϛ COMO EL CONJUNTO {x ЄU; xЄX para algún XЄϚ} O SEA, PODEMOS FORMAR LA UNION DE CONJUNTOS…

NUMEROS SEA DADO UN CONJUNTO N SE DEFINE EL SUCESOR DE N, DENOTADO N+, COMO EL CONJUNTO NU{N}, O SEA N+ = NU{N}( LA UNION DE N CON EL CONJUNTO CUYO UNICO ELEMENTO ES N) AHORA NECESITAMOS UN AXIOMA AXIOMA DEL INFINITO: EXISTE UN CONJUNTO QUE CONTIENE AL 0 Y AL SUCESOR DE CADA UNO DE SUS ELEMENTOS. PARA CONCLUIR, LA CONSTRUCCION DE LOS NUMEROS NATURALES, NECESITAMOS UNAS DEFINICIONES. DADA UNA COLECCIÓN DE CONJUNTOS Ϛ, SE DEFINE LA INTERSECCION DE LOS ELEMENTOS DE Ϛ COMO EL CONJUNTO {x; para todo X ЄϚ VALE x Є X}

NOTAMOS QUE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS NO NECESITA UN AXIOMA PARA ADMITIRLA. UN CONJUNTO S SE DIRA UN CONJUNTO DE SUCESORES SI 0ЄS Y TODA VEZ QUE UN NUMERO NЄS ENTONCES N+Є S. EL AXIOMA DEL INFINITO ASEGURA QUE EXISTE UN CONJUNTO DE SUCESORES. SI A Y B SON CONJUNTOS DE SUCESORES ENTONCES SU INTERSECCION ES NO VACIA. ESTO PORQUE 0Є A Y 0 Є B. PROPOSICION SEA Ϛ = { A; A ES UN CONJUNTO SUCESOR} Y ω = LA INTERSECCION DE TODOS LOS ELEMENTOS DE Ϛ ENTONCES ω ES UN CONJUNTO SUCESOR. DEFINICION UN NUMERO NATURAL ES UN ELEMENTO DE ω. EL CONJUNTO ω SE CONOCE COMO EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES.

OBSERVAMOS LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DE ω: 1 OBSERVAMOS LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DE ω: 1.- SI S С ω ES UN CONJUNTO DE SUCESORES ENTONCES S=ω. ESTO SE CONOCE COMO EL PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA. SE ESCRIBE: SI S С ω SATISFACE (1) 0ЄS Y (2) SI x ЄS IMPLICA QUE x+ Є S ENTONCES S = ω 2.- PARA CADA N Є ω VALE N+ ≠ 0. 3.- SEA N Є ω. SI x Є N ENTONCES N NO ES SUBCONJUNTO DE x. 4.- SI NЄω Y x Є N ENTONCES x С N. 5.- SI N Y M ESTAN EN ω y N+=M+ ENTONCES N=M.

PARA COMPARAR LA CONSTRUCCION AXIOMATICA ( DE LOS NUMEROS NATURALES) CON LA CONSTRUCCION ALGEBRAICA, HAGAMOS EXPLICITAS LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DE ω. (I.-).- 0 Є ω. (II.-) SI N Є ω ENTONCES N+ Єω. (III.-) SI S С ω satisface:[(i) 0ЄS y (ii) n+ Є ω si n Є ω] entonces S = ω. (IV) PARA CADA n Є ω vale n+ ≠ 0. (V) Si n, m Є ω y si n+ = m+ entonces n=m. ESTAS PROPIEDADES DE ω SE CONOCEN COMO LOS AXIOMAS DE PEANO Y SE ENUNCIAN DE LA SIGUIENTE FORMA: EXISTE UN CONJUNTO, ω, LLAMADO DE LOS NUMEROS NATURALES Y QUE SATISFACE (I)-(V) ANTERIOR.

YA TENEMOS EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES YA TENEMOS EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES. ESTA CONSTRUCCION, CONOCIDA COMO LA CONSTRUCCION AXIOMATICA DE LOS NUMEROS NATURALES, SE DERIVA DE LOS TRABAJOS DE GEORGE CANTOR, FREGE Y BERTRAND RUSSEL. LA CONSTRUCCION DE PEANO, DE INICIOS DEL SIGLO XX, ASUME QUE EXISTE UN CONJUNTO, ω, Y UNA FUNCION S:ω→ω, EN QUE EL ELEMENTO S(N) SE LLAMA EL SIGUIENTE DE N, Y QUE SATISFACE LAS PROPIESDADES (I)-(V) SEÑALADAS ANTERIORMENTE. LO INTERESANTE, CON LOS NUMEROS NATURALES, VIENE AHORA: CONSTRUIR LAS DOS OPERACIONES BASICAS. ESO SERA EL MOTIVO DE NUESTRA SEGUNDA CHARLA.