MATEMATICAS DISCRETAS M.C. FELMA LIZBETH GONZALEZ FLORES

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS. Conjuntos finitos, principio de Conteo. Se dice que un conjunto es finito si contiene exactamente m elementos diferentes en donde m denota algún entero no negativo. En caso contrario, se dice que el conjunto es infinito. Por ejemplo, el conjunto vacío y el conjunto de letras en el alfabeto español son finitos, mientras que el conjunto de los enteros positivos pares, {2,4,6,…} es infinito [2]. Si un conjunto A es finito, n(A) denotará el número de elementos de A. Algunos textos usan  (A) en lugar de n(A).

… Lema: Si A y B son conjuntos finitos disyuntos, entonces (A  B) = n(A) + n(B) Demostración: Al contar los elementos de A  B , primero contamos los que están en A. Hay n(A) de éstos. Los únicos otros elementos de A  B son los que están en B, pero no en A. Pero como A y B son disyuntos, ningún elemento de B está en A, de modo que hay n(B) elementos que están en B, pero no en A. Por lo tanto, n(A B) = n(A) + n(B).

… También tenemos una fórmula para n(A B), aunque A y B no sean disyuntos. Si A y B son conjuntos finitos, entonces A  B y A  B son finitos y n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces también lo es A  B  C, y n( A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - n (A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

Ejemplo Supongamos que 100 de los 120 estudiantes de matemáticas de una facultad toman por lo menos un idioma entre, francés, alemán y ruso. Suponga también que: 65 estudian francés 45 estudian alemán 42 estudian ruso 20 estudian francés y alemán 25 estudian francés y ruso 15 estudian alemán y ruso

… Sean F, A y R los conjuntos de estudiantes que estudian francés, alemán y ruso, respectivamente. Queremos encontrar el número de estudiantes que estudian todos los tres idiomas, y encontrar el número correcto de estudiantes en cada una de las ocho regiones del diagrama de venn. U

… Tenemos: n(F  A  R) = 100, ya que 100 de los estudiantes estudian por lo menos uno de los idiomas. Substituyendo, 100 = 65 + 45 + 42 – 20 – 25 – 15 + n(F A  R) y por lo tanto, n(F A  R)= 8, o sea que 8 estudiantes estudian todos los tres idiomas.

… Usamos ahora este resultado para llenar el diagrama de Venn. Tenemos: 8 estudian todos los tres idiomas 20-8 = 12 estudian francés y alemán pero no Ruso. 25-8 = 17 estudian francés y ruso pero no alemán 15-8 = 7 estudian alemán y ruso pero no francés. 65-12-8-17 = 28 estudian solamente francés. 45-12-8-7 = 18 estudian solamente alemán. 42-17-8-7 = 10 estudian solamente ruso. 120-100 = 20 no estudian ninguno de los idiomas 28 + 18 + 10 = 56 estudiantes estudian exactamente uno de los tres idiomas.

Diagrama de Venn U 20

PRODUCTO CARTESIANO Antes se señaló que un conjunto es una colección no ordenada de elementos; es decir, un conjunto queda determinado por sus elementos y no por algún orden particular de enumerar éstos. Sin embargo, a veces es necesario tomar en cuenta el orden. Un par ordenado de elementos, que se escribe (a,b), se considera distinto delpar ordenado (b,a), a menos, por supuesto, que a=b.

… Dicho de otra forma, (a,b) = (c,d) si y sólo si a= c y b=d. Si X y Y son conjuntos, X y Y denota el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x  X y yY. X x Y es el producto cartesiano[1].

… Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: A X B := { (a,b) | a  A y b  B} Se lee: Los pares del producto cartesiano de A x B, es un par tal que a es elemento del conjunto A, y b es elemento del conjunto B, así se forma el par (a,b).

… Ejemplo 1. Si X = {1,2,3} y Y = {a,b}, entonces X x Y = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} Y x X = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)} X x X = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Y x X = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)}

... Ejemplo 2. Un restaurante sirve cuatro entradas: r = costillas, n = nachos, s=camarón, f = queso fundido Y tres platos principales: c= pollo, b=filete de res, t = trucha Si A = {r,n,s,f} y M = {c, b, t}, el producto cartesiano A X M indica las 12 posibles comidas que constan de una entrada y un plato principal.

VECTORES Y MATRICES. Vectores. Es una lista lineal de valores. Ejemplo: (1,2,3) y (2,3,1) , contienen los mismos números, no son iguales, ya que los componentes correspondientes no son iguales. Si dos vectores, u y v, tienen el mismo número de componentes, su suma, escrita u + v, es el vector obtenido al sumar componentes correspondientes de u y v. u + v = (u1,u2,…un) + (v1,v2,…vn) = (u1+v1, u2+v2,…un+vn)

… Matrices. El término matriz fué utilizado por primera vez por los matemáticos ingleses Arthur Cayley (1821-1895) y James Sylvester (1814-1897) en el año de 1850, para distinguir las matrices de los determinantes. Cayley y Sylvester convirtieron las matrices en importantes instrumentos en la solución de problemas de las ciencias económico-administrativas.

Concepto de matriz. Podemos decir que una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. También se le llama arreglo de dos dimensiones. Una matriz con m filas y n columnas se dice que es una matriz m por n, escrito mX n. La pareja de números m y n se llama tamaño de la matriz. Dos matrices, A y B, son iguales, escrito A = B, si tienen el mismo tamaño y si los elementos correspondientes son iguales.

… Ejemplo #1 El arreglo rectangular. 1 -3 4 0 5 -2 1 -3 4 0 5 -2 Es una matriz 2 x 3. Sus filas son (1,-3,4) y (0,5,-2) Sus columnas son: 1 -3 4 0 5 -2

… Ejemplo #2 La tabla de posiciones en un torneo de fútbol. PJ: partidos jugados PG:partidos ganados PP:partidos perdidos PE:partidos empatados PJ PG PP PE Puntos Equipo A 3 3 0 0 6 Equipo B 3 2 1 0 4 Equipo C 3 1 2 0 2

… El arreglo , que es una matriz: 3 3 0 0 6 3 2 1 0 4 3 1 2 0 2