CIRCUNFERENCIA

Ecuación cartesiana u ordinaria Ecuación de la Circunferencia referida a un sistema de ejes cartesianos Consideremos la circunferencia de centro C(h,k) y radio r. Sea P(x,y) un punto cualquiera. Por definición de distancia: Ecuación cartesiana u ordinaria Si C (0, 0) Ecuación canónica

Ecuación Cartesiana en su Forma General Si en la ecuación cartesiana desarrollamos los cuadrados y ordenamos los términos: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 – 2.h.x + h2 + y2 – 2.k.y + k2 = r2 x2 + y2 – 2.h.x – 2.k.y + h2 + k2 – r2 = 0 Ecuación Cartesiana en su forma General x2 + y2 + d.x + e.y + f = 0 d = - 2.h e = - 2.k f = h2 + k2 – r2

Condiciones Necesarias y Suficientes Una Ecuación de 2º grado en dos variables: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0, representa una circunferencia si: 1) a=c, 2) b=0, 3) d2+e2-4f  0 Partiendo de: x2 + y2 +dx +ey + f = 0 Agrupando términos Sumando en ambos miembros números convenientes para completar en cada paréntesis trinomios cuadrados perfectos, resulta: (x2 + dx) +(y2 + ey) = -f (x2+dx+d2/4)+(y2+ey+e2/4) = -f+d2/4+e2/4 (x+d/2)2 + (y+e/2)2 = -f+d2/4+e2/4 Comparando con (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Ejemplos: x2 + (y - 1)2 = 25 y x r = 5 C(0, 1) 1 -1 2 3 4 6 -4 5 -2 -3 7 -5 r = 5 C(0, 1) 1 -1 2 3 4 -4 5 -2 -3 -5 -6 6 x

Ejemplos: x2 + y2 = 25 y x r = 5 C(0, 0) 1 -1 2 3 4 6 -4 5 -2 -3 7 -5 -6 6 x

(x + 1)2 + y2 = 9 Ejemplos: y x C(-1, 0) r = 3 1 -1 2 3 4 6 -4 5 -2 -3 7 -5 C(-1, 0) 1 -1 2 3 4 -4 5 -2 -3 -5 -6 6 x r = 3

(x - 2)2 + (y - 2)2 = 16 Ejemplos: y x r = 4 C(2, 2) 1 -1 2 3 4 6 -4 5 -2 -3 7 -5 r = 4 C(2, 2) 1 -1 2 3 4 -4 5 -2 -3 -5 -6 6 x

Ejemplo: Determinar el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia x2 + y2 + 4x -10y + 13 = 0

Ejemplo : Encontrar la ecuación de la Circunferencia que pasa por los puntos P1(2,1), P2(0,1) y P3(0,-1) conociendo que la ecuación puede expresarse según:

x -2y -1 = 0 x2 + y2 -8x +2y + 12 = 0 Ejemplo: Hallar los puntos de intersección (si existen) entre: recta de ecuación x -2y -1 = 0 y la circunferencia x2 + y2 -8x +2y + 12 = 0

x2 + y2 -4x -6y + 9 = 0 x2 + y2 -8x -2y + 13 = 0 Ejemplo: Hallar los puntos de intersección (si existen) entre las circunferencias 1 y 2 : x2 + y2 -4x -6y + 9 = 0 y x2 + y2 -8x -2y + 13 = 0

Ejemplo: Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia: x2 + y2 -5x +2y + 1 = 0, por el Punto P0(4,1) Solución: Verificar si P0 pertenece a la circunferencia. Determinar h y k. Hallar las componentes del vector CP0. Determinar c. Escribir la ecuación de la recta tangente.

Ejemplo: Determinar la ecuación de las tangentes (si existen) a la circunferencia: x2 + y2 +2x -19 = 0, por el Punto P1(1,6) Solución: Determinar las coordenadas del centro y radio.. Verificar si la distancia de P1 a C es mayor que r. Si el punto es exterior,el sistema tiene solución..