Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto Método Grafico. Circulo de Mohr 3a.Parte MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

3.5 Método grafico. Circulo de Mohr UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. Pag 11 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

3.5 Método grafico. Circulo de Mohr UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1: (3.1 y 3.2) MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Elevando al cuadrado, sumando y simplificando, (3.11) sx, sy, txy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, mientras que s y t son variables. MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Por lo tanto (sx +sy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuación (3.11) se transforma en: (3.12) Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: (x-c)2 + y 2= R2 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

Por lo que la circunferencia será de radio y centro: (3.13) Construcción del circulo de Mohr 11

La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado. El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).

Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional

Construcción del circulo de Mohr Dado el estado de esfuerzos biaxial: sx > sy, sy tyx b txy a) (sx , -txy ) sx a b) (sy , tyx )

t s n b Y 1’ t max 2 1 o - s c + s a t xy’ t min s min X 2’ x’ s x’ a) (sx , -txy ) b) (sy , tyx ) t s n b Y 1’ t max 2q1’ 2q2 2 1 o - s c + s 2q1 a t xy’ t min 2q = -120 s min 2q2’ X 2’ x’ s x’ s max -t

Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) : Caso 1 Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar : a) Los esfuerzos componentes sx’, txy’ para q x’ = -30o b) Los esfuerzos principales normales s1, s2 . c) Su dirección y orientación d) Los esfuerzos principales cortantes t1, t2 y sn e) Su dirección y orientación sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa

Método Gráfico: Circulo de Mohr Identificar el estado de esfuerzos sx = + 500MPa (T) sy = - 300MPa (c) txy = - 100MPa tyx = 100MPa 2. Hacer escala 50 MPa: 1cm. 3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros; (10,-2) y (-6, 2). 4 Trazar los ejes s vs. t en el papel milimétrico Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb Marcar el origen O y el centro C sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa a b t Y b s C - s o X a - t

s n, tmax -tmin smin smax t 8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes: midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen: s Max =10.3cmx50=515MPa(+) s Min = -6.3cm x50=-315MPa t Max = 8.3cm x50= 415MPa t Min = -8.3cm x50= -415MPa sn = 2cm x50 = 100MPa (s n, tmax ,) 1’ tmax Y b -s (s1 ,0) 1 s (s2 ,0) 2 o C -tmin X a 2’ (s n ,tmin,) smin smax -t

s n, tmax -tmin smin smax t (s n, tmax ,) Y b (s1 ,0) -s s (s2 ,0) o a 1’ tmax Y b (s1 ,0) -s C s 2 1 (s2 ,0) 2’ o -tmin a X smin (s n ,tmin,) smax -t 14

Los ángulos en el circulo son el doble del valor real. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes Los ángulos en el circulo son el doble del valor real. 2q Max = +15o q 1 =+ 7o 2qMin = - 165º q 2 = - 85.5o 2q ’Max = + 105o q 1’ =+52.5o 2q ’Min = - 75o q 2’ = - 37.5o t (t1 , s n) 1’ Y b 2q 1’ (s1 ,0) -s 2 1 s o C 2q 1 (s2 ,0) a 2q 2 2q 2’ X 2’ (t2 , s n) -t

Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes. Con los ángulos anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: q1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa

Obtención de las componentes de esfuerzos sx’, txy’ para qx’=-30o y sus correspondientes componentes a 90o ; sy’, tyx’ . Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2q trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección será el punto cuyas coordenadas son: sx’, txy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas sy’, tyx’ . sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa q = - 30

t s y’ y’ y b t yx’ o c - s + s t xy’ a x x’ a’ -t Calculo de: sx’ , txy’ para q= -30o y sy’ y t xy’ para q’ = -30 + 90 = 60o sx’ =+4.4cmx50=220MPa t txy’ =-8cmx50=-400MPa s y’ sy txy sx y’ b’ y b t yx’ b a 2q’=120o 2 1 o c - s + s t xy’ 2q=-60o a a) (sx , -txy ) b) (sy , tyx ) x x’ a’ s x’ -t 5A-P