Elementos Finitos en un continuo elástico Objetivo: Determinar el campo de tensiones y deformaciones en un sólido contínuo Fases del método: El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias, en un número de elementos finitos Los elementos se encuentran conectados entre si mediante un número discreto de puntos que se denominan nodos, situados en su contorno. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas del problema. Definición de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada elemento finito en función de los desplazamientos nodales. Ecuaciones constitutivas del material que relaciona los desplazamientos y deformaciones con las tensiones. Determinación de un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera carga repartidas alejandro.gutierrez@.usach.cl

División mediante líneas Creación de nodos Aplicación del método Pasos 1 y 2 División mediante líneas Creación de nodos uj vj i k j x y v(x,y) u(x,y)

Funciones de interpolación Paso 3.- Solución Aproximada Funciones de interpolación

Propiedades de las funciones de interpolación Elemento triangular u(x,y) v(x,y) i vi ui

Elemento 2-D i j k Ni(x,y) Nk(x,y) Nj(x,y) i i k k j j ui i uj uk k j

Ecuaciones constitutivas Paso 4.- Ecuaciones constitutivas {s}=[D]({e} - {e0}) + {s0} {s}.- Campo de tensiones [D].- Matriz de elasticidad {e}.- Campo de Deformaciones {e0}.- Deformaciones de origen térmico {s0}.- Tensiones residuales

Caso 2-D Deformaciones

Tensiones Cálculo de las Tensiones

Sistema de fuerzas concentrada en los nodos Paso 5.- Sistema de fuerzas concentrada en los nodos Vi Ui i

Trabajos Virtuales Al interior del elemento Trabajo de las Tensiones Trabajo de las fuerzas de cuerpo En los nodos del elemento Trabajo de las fuerzas nodales

Igualando Trabajos

{s}=[D]({e} - {e0}) + {s0} {e} = [B]{ue}

Matriz de Rigidez Fuerzas deformación inicial Fuerzas tensión residual Fuerzas de cuerpo

Aplicación Elemento Barra: x x1 x2 A,E

1 1 x1 x2 x1 x2

Ejemplo: 500 x u1=1 mm u2=3 mm Cálculo Se tiene una barra como muestra la figura, se ha determinado por algún método el desplazamiento que tienen los nodos extremos, además se sabe que inicialmente se tiene una deformación de origen térmico de e = 1.0x10-4 y una tensión residual de 10 x106 N/m2. La barra es de Acero E=2.0x1011 N/m2, una sección transversal de A= 0.001m2 Determine la tensión en el centro de la barra. 500 1 2 x u1=1 mm u2=3 mm Cálculo

Fuerzas nodales equivalente a deformación iinicial Fuerzas nodales equivalente a tensiones residuales

Remplazando valores

Elemento Viga wi wj qj qi L Condiciones de Borde Determinar la matriz de rigidez del elemento Viga

Aplicando condiciones de borde se llega a: Escrito en forma matricial se tiene:

Para la viga en estudio se tiene que: Igualando términos Por equilibrio :

Se recomienda hacerla con los polinomios de interpolación:

Se amplía la matriz a una viga que además esta sometida a tracción o compresión Vj Mj Mi Uj Ui

Para que sea válida en cualquier posición en el plano debe ser multiplicada por la matriz de rotación dada por:

Elemento triangular i j k ui vi uj vj uk vk Desarrollamos para u(x,y) Campo de desplazamientos.

j i k

Tensión deformación

Tensión plana

Matriz de rigidez

Ejemplo: La estructura de la figura esta compuesta por una viga, una barra y una placa, en su extremo se aplica una carga vertical de 10000 N hacia abajo. Determinar los desplazamientos nodales, las fuerzas en cada uno de los elementos y la tensión máxima en cada uno de ellos. 1000 30º 10000 N Barra circular d = 50 Viga cuadrada de a = 100 Placa e=10mm

1 2 3 1b 1p 1v