El algoritmo primal-dual METODO APLICADO AL PROBLEMA DEL CAMINO MAS CORTO El algoritmo primal-dual
El Problema G = (V,E) Cj≥0 arc ej pertenece E 1 3 3 e4 2 2 e1 e7 s e6 5 2 4 1 G = (V,E) Cj≥0 arc ej pertenece E
Formulación Como un problema de optimización, el conjunto factible es F = {secuencia P=(ej1,…,ejk): esta secuencia en un camino dirigido de s a t en el grafo G} Y función de costo c(P) = Σ1≤i≤k Cji
Formulación Podemos formular una instancia de SP como un LP definiendo primero la matriz incidente A=[aij] del grafo G por +1 si ej sale del nodo i aij= -1 si ej entra al nodo j 0 en otro caso
Formulación Asociamos una variable fj con arc ej para representar un flujo. Entonces la conservación del flujo en el nodo i es expresado por la ecuación: OMITIDO
Formulación Fila s
El principio del criterio de optimalidad y en el algoritmo simplex si hay una solución optima Entonces existe una base Para el LP tal que Asi es solución factible para las restricciones lineales, donde y m es el numero de filas en la original A
Problema Dual Estas restricciones definen un nuevo LP, llamado el DUAL del LP principal, el principal LP es llamado PRIMAL. El valor es factible en el dual. Podemos escribir el dual de la instancia LP de SP por asignación de una variable a cada nodo i:
Dualidad
Dualidad
Algoritmo Primal-Dual Primal Restringido RP Dual del primal restringido DRP x π π Adaptado a π
Algoritmo
P D RP DRP
Una solución optima para DRP es entonces: Donde θ se puede calcular como sigue:
Corrida paso a paso con el primer ejemplo del problema del camino mas corto
CONCLUSION