Simulacion de sistemas dinamicos Métodos de integración de un solo paso

Contenido Análisis del error por truncado Metodos de Runge–Kutta Un ejemplo de Modelado y simulación Modelado vs. simulación

Análisis del error por truncado

El algoritmo predictor: corrector: Consideremos el algoritmo de integración numérica explícito: predictor: Un solo paso corrector corrector: Combinando las ecuaciones, se obtiene

Serie de Taylor multidimensional La serie de Taylor en dos dimensiones de primer orden es Entonces Jacobiana del sistema Aplicando este resultado al algoritmo se obtiene

La serie de Taylor de segundo orden Considerando la serie de Taylor truncada después del término cuadrático, donde

Comparando resultados Algoritmo predictor-corrector Truncado de Taylor de segundo orden El resultado es casi el mismo Sólo difiere en el factor 2 en el término cuadrático

Combinación de los dos algoritmos Comparando las dos aproximaciones, el Euler directo y el predictor-corrector: Combinando los dos algoritmos se tiene El algortimo resultante es equivalente a una aproximación de truncado de segundo orden de la serie de Taylor

Combinación de los dos algoritmos Esto es, predictor: corrector: Este es el método de integración numérica denominado algoritmo de integración de Heun

Algoritmo de integración de Heun Equivalente a una aproximación de segundo orden, el error es del orden de h2

Metodos de Runge–Kutta

Algoritmos de Runge-Kutta de orden dos

Generalización del método de Heun El metodo de Heun utiliza un paso de Euler directo como predictor y luego una mezcla de Euler directo e inverso como corrector. La idea es generalizar el método Inicialmente, consideremos un solo término corrector, pero esta vez parametrizando como sigue predictor: corrector:

Generalización del método de Heun predictor: corrector: α1 : representa el tiempo en el que se evalúa la predicción β21 : Peso o fracción de la derivada en el tiempo tk β22 : Peso o fracción de la derivada en el tiempo tk+α1

Generalización del método de Heun Agrupando términos, como antes, y desarrollando en serie de Taylor, obtenemos: Que puede ser comparada con la verdadera expansión de Taylor truncada después del término cuadrático Comparando las ecuaciones resultan condiciones sobre los parámetros desconocidos

Condiciones sobre los parametros Condiciones generales que garantizan que el resultado es un algoritmo con exactitud de segundo orden Existen entonces infinitos algoritmos de este tipo. El metodo de Heun puede caracterizarse por: α2 representa representa el tiempo en el que se evalúa la corrección, que debe ser siempre 1

El método de Heun En el método de Heun la estimación del estado se realiza en tres etapas Evaluacion de la derivada 1 en el instante α0 = 0 etapa 0 Peso en la etapa 1 de la derivada 1: β11 =1 etapa 1 Evaluacion de la derivada 2 en el instante α1 = 1 etapa 2 Estimado de x Peso en la etapa 2 de la derivada 1: β21 = 0.5 Peso en la etapa 2 de la derivada 2: β22 = 0.5

Tabla de Butcher del metodo de Heun En muchas referencias los distintos metodos se representan en la forma denominada tabla de Butcher del metodo: Instantes de tiempo de cada etapa: α’s Pesos para la prediccion en la etapa 1 Evaluación de la derivada 1 en el tiempo t* ( α0 = 0) etapa 0 etapa 1 Evaluación de la derivada 2 en el tiempo t* + h (α1 = 1) usando el valor predicho en la etapa etapa 2 Pesos usados de las derivadas para la estimacion de x Tabla de Butcher del metodo de Heun

Método del punto medio explícito Otro algoritmo de dos etapas y de segundo orden muy utilizado es el metodo del punto medio explicito, caracterizado por: Un cero adicional, comparado con el método de Heun caracterizado por: predictor: corrector:

Método del punto medio explícito Predicted value of x(ti+1) Predicted value of xi+1/2 x(t) Actual value of x(ti+1) Line with slope f(xi,ti) Line with slope f(xi+1/2,ti+1/2) Predicted value of x(ti+1) Dt/2 Dt/2 ti ti+1/2 ti+1 t

Método del punto medio explícito Tabla de Butcher del metodo del punto medio explicito Un cero adicional, comparado con el método de Heun El método es un poco más económico que el algoritmo de Heun, porque su tabla de Butcher contiene un cero adicional

Algoritmos de Runge-Kutta de orden cuatro

Runge-Kutta de orden cuatro explícito El algoritmo mas conocido es el de Runge–Kutta de orden cuatro (RK4) caracterizado por: La idea: Implementar un sistema predictor-corrector, Comparar con un truncado de orden cuatro de la serie de Taylor El RK4 es entonces un algoritmo explícito de cuarto orden de exactitud de un solo paso

Runge-Kutta de cuarto orden explícito ti ti + h/2 ti + h

Runge-Kutta de cuarto orden explícito Implementación del algoritmo El algoritmo tiene cuatro etapas

Runge-Kutta de cuarto orden explícito Tabla de Butcher del algoritmo RK4 El RK4 es particularmente atractivo debido a los muchos ceros en su tabla de Butcher Cada paso del método está constituido por cuatro micro-pasos, dos de longitud h/2, y dos de longitud cero

Algoritmos de Runge-Kutta de orden mayor

Algoritmos de Runge-Kutta de orden mayor La idea puede ser generalizada añadiendo más etapas. El algoritmo Runge-Kutta explícito general puede ser descrito como sigue: etapa 0 etapa j última etapa donde l es el número de etapas

Algoritmos de Runge-Kutta de orden mayor Ejercicio Construir la tabla de Butcher para los algoritmos de Runge-Kutta explicitos de orden mayor

Dominio de Estabilidad de los Algoritmos RK explícitos

Iteración de punto fijo Todos los metodos de RK vistos hasta ahora son explicitos es de esperar, entonces, que sus dominios de estabilidad sean similares al del algoritmo de Euler directo Es decir, el contorno de estabilidad marginal se encuentre dentro del semiplano izquierdo del plano (λ·h) A continuación estudiamos los dominios de estabilidad considerando el caso de un sistema lineal

Matrix F equivalente para el método de Heun Aplicando el algoritmo de Heun a un sistema lineal: prediccion: corrección:

Matrix F equivalente para órdenes mayores Los algoritmos deben aproximar la solución analítica: La aproximación a la solución analítica corresponde con el orden de aproximación del método En consecuencia, todos los métodos de orden n en n etapas tienen dominios de estabilidad idénticos

Dominios de estabilidad de los métodos RK explícitos Dominios de estabilidad para los métodos RK explícitos RK1, RK2, RK3, y RK4

Conclusiones

Con excepción del algoritmo Euler directo (RK1) Conclusiones Todos los algoritmos RK directos son algoritmos multi-etapa que requieren evaluaciones internas de la función Con excepción del algoritmo Euler directo (RK1) Ningún algoritmo RK directo reserva alguna información entre los pasos. Es decir, en cada nuevo paso todo se inicia de nuevo

Conclusiones Los algoritmos RK directos están entre los más usados como solvers el mercado de hoy Para la mayoría de los problemas de ingeniería, los algoritmos RK4 directos ofrecen un buen compromiso entre exactitud y economía en la simulación de un solo paso Los algoritmos RK4 directos usualmente ofrecen control del tamaño del paso. Es decir, ajustan el tamaño del paso de un paso integración a otro

Fuentes Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York

FIN