Estadígrafos de posición Pedro Godoy G. Colegio Ingles Saint John

Media Aritmética Valor representativo de un conjunto de datos Para datos no agrupados Sean x1, x2 , x3 , x4,…………………………, xn un conjunto de datos no agrupados Donde n es la cantidad de elementos de la muestra

Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). NOTA: en las poblaciones se denominan parámetros y en las muestras se les denomina estimadores.

Propiedades La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que

Ejemplo Notas x - M 5,0 0,2 4,5 -0,3 3,7 -1,1 3,5 -1,3 7,0 2,2 2,7 -2,1 4,7 -0,1 6,8 2,0 5,7 0,9 media 4,8 0,0

Propiedad 2 Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor fijo entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor variable entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión M(a x)=a M(x)

Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten. Media aritmética en datos agrupados Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten. 1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman. 2º. El resultado se divide por el total de datos. Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron: Datos por frecuencias Total de datos

psu En el siguiente gráfico, la media aritmética de la muestra es: 4,075 4,100 4,125 4,150 4,175

Mediana La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son: La mediana La mediana de un conjunto de datos es un valor que supera al 50% de la muestra y al mismo tiempo es superado por el otro 50 % de la muestra Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son: Ejemplo: 72, 65, 71, 56, 59, 63, 72 1º. Ordenamos los datos: 56, 59, 63, 65, 71, 72, 72 2º. El dato que queda en el centro es 65. La mediana vale 65. Caso: Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es:

Mediana para datos agrupados Intervalo fi Fac 20- 24 28 25 - 29 33 61 30-34 36 97 35-39 45 142 40 – 44 35 177 45 – 49 25 202 50 – 54 10 212 55 – 59 248 60 – 64 8 256 total 1° paso : Obtener la frecuencia acumulada 2° paso : buscar la frec acumulada mas pequeña que supere a la mitad de la muestra 3° paso : Obtener el intervalo mediano Fórmula

Psu

Años de estudio

Datos Frec Fac 1 5 2 8 13 3 9 22 4 11 33 41 6 44 ¿Cuál es la mediana?

Moda La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.

La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite. Ejemplo. Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla: El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41. Lo compran 35 personas La moda es 41.

Cálculo de la moda Si todas las puntuaciones de una distribución tienen la misma frecuencia consideraríamos que no existe moda. Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que dos de ellas son adyacentes, tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la moda es el promedio de estas dos puntuaciones. Ejemplo: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10 En este caso la moda sería la media entre 6 y 7. Mo = 6,5 En el caso de encontrarnos con dos puntuaciones que sin ser adyacentes tienen la misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación cualquiera, entonces nos encontramos con una distribución bimodal. Ejemplo: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7 Mo = 3 Mo = 6

Cálculo de la moda Si los datos están agrupados, entonces la moda es el punto medio del intervalo que registra la mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. Con datos agrupados se aplica la siguiente fórmula: d1: diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el intervalo anterior. d2: diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el inmediato superior. Li: es el límite inferior real del intervalo modal. I: amplitud del intervalo.

Cálculo de la moda La siguiente tabla presenta la frecuencia de edades de una muestra agrupada por intervalos. Calculemos la moda de las edades. Edades fi 16 - 21 8 22 – 27 12 28 – 33 18 34 – 39 17 40 – 45 46 – 51 52 – 57 58 – 63 9 64 – 69 3 Primero se debe calcular el punto medio del intervalo modal. En este caso el intervalo modal es el 28 – 33 y su punto medio es 30,5. Calculamos ahora las diferencias de las frecuencias del intervalo modal con el intervalo anterior y posterior: d1 = 18 – 12 = 6 d2 = 18 – 17 = 1 Ahora aplicamos la fórmula:

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de 4° medio es el siguiente: ¿Cuál es la moda?

Medidas de Posición: Cuartiles Si un conjunto de datos se ordena de acuerdo con su magnitud, el valor central que divide al conjunto en dos partes iguales es la mediana. Extendiendo esta idea, es posible considerar los valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados por Q1, Q2 y Q3, se denominan como primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente, donde Q2 es la mediana.

Medidas de Posición: Cuartiles Dada la definición, Q1 deja el 25% de los datos debajo de él y 75% por encima, Q2 el 50% por abajo y por encima de él y Q3 deja el 75% de los datos debajo de él y el 25% arriba.

Medidas de Posición: Cuartiles Cálculo de cuartiles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los cuartiles: Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima A continuación se le asigna a los cuartiles el valor de los datos correspondientes.

Medidas de Posición: Cuartiles Ejemplo: Calcular los 3 cuartiles de: 1, 6, 79, 104, 224, 247, 253, 282, 418, 446, 578, 621, 704, 751, 796, 844, 930 Primero se deben contar: N=17 Luego se calculan los cuartiles:

Medidas de Posición: Cuartiles

Medidas de Posición: Cuartiles La fórmula para calcular los cuartiles en datos agrupados es:

Medidas de Posición: Cuartiles LI Marca fi fac 0 - 850 425 785 850 - 1700 1275 234 1019 1700 - 2550 2125 300 1319 2550 - 3400 2975 629 1948 3400 - 4250 3825 876 2824

Medidas de Posición: Cuartiles Los resultados son: Q1 764.46 Q2 2675.68 Q3 3564.95

Medidas de Posición: Quintiles Al igual que con los cuartiles, los quintiles son los datos que dividen la muestra en cinco partes iguales, agrupándolas en los porcentajes 20, 40, 60 y 80. Se denominan Q1, Q2, Q3 y Q4.

Medidas de Posición: Quintiles Cálculo de quintiles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los quintiles: Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima A continuación se le asigna a los quintiles el valor de los datos correspondientes.

Medidas de Posición: Quintiles Nótese que: Quintil 1=1/5=0,2 Quintil 2=2/5=0,4 Quintil 3=3/5=0,6 Quintil 4=4/5=0,8 Por lo que para obtener la observación de cada quintil, hay que multiplicar N por el tanto por uno que corresponda.

Medidas de Posición: Quintiles Dados los siguientes datos, calcular Quintil 1, Quintil 2, Quintil 3 y Quintil 4. 39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275, 310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998

Medidas de Posición: Quintiles En este caso, debemos multiplicar 33 por 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8. El resultado que obtenemos es: Quintil 1: 6.6 → X7 Quintil 2: 13.2 → X14 Quintil 3: 19.8 → X20 Quintil 4: 26.4 → X27

Medidas de Posición: Quintiles Y esos valores son Quintil 1: 234 Quintil 2: 405 Quintil 3: 571 Quintil 4: 793

Medidas de Posición: Quintiles La fórmula para calcular los quintiles en datos agrupados es:

Medidas de Posición: Quintiles LI LS Marca fi fa 970 485 444 1940 1455 4505 4949 2910 2425 9850 14799 3880 3395 7691 22490 4850 4365 1088 23578 N =23578

Medidas de Posición: Quintiles El resultado es: Quintil 1: 1889.75 Quintil 2: 2381.39 Quintil 3: 2845.77 Quintil 4: 3422.48

Medidas de Posición: Deciles Al igual que en los casos anteriores, los valores que dividen los datos en 10 partes iguales son llamados decíles, los cuales se denotan por D1, D2, …, D9. En donde cada decil representa al 10%, 20%, …, 90% de los datos, respectivamente.

Medidas de Posición: Deciles Cálculo de deciles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los deciles: Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima A continuación se le asigna a los deciles el valor de los datos correspondientes.

Medidas de Posición: Deciles Al igual que en ,os casos anteriores, se puede deducir que los factores por los que se debe multiplicar N son: D1 =1/10=0,1 D2 =2/10 0,2 D3 =3/10=0,3 D4 =4/10=0,4 D5 =5/10=0,5 … D9 =9/10=0,9

Medidas de Posición: Deciles La fórmula para calcular los deciles en datos agrupados es:

Medidas de Posición: Percentiles Como en los casos anteriores, los valores que dividen los datos en 100 partes iguales se conocen como percentiles y se indican como P1, P2, …, P99. Representando cada uno de ellos al 1%, el 2% y el 99% de los datos, respectivamente.

Medidas de Posición: Percentiles Cálculo de deciles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los percentiles: Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima A continuación se le asigna a los percentiles el valor de los datos correspondientes.

Medidas de Posición: Percentiles La fórmula para calcular los percentiles en datos agrupados es:

Ejercicios Para los mismos datos no agrupados, calcular el decil 6 y el percentil 27. 39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275, 310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998 Nótese que N=33, por lo tanto Decil 6→0,6*33 = 19,8 ~ 20 Decil 6 = 571 Percentil 27→0,27*33 = 8,91 ~ 9 Percentil 27 = 275

Ejercicio LI LS Marca fi fa 970 485 444 1940 1455 4505 4949 2910 2425 970 485 444 1940 1455 4505 4949 2910 2425 9850 14799 3880 3395 7691 22490 4850 4365 1088 23578 N =23578

Ejercicio Decil 6: Percentil 27: Percentil 12