Jesús Carrera ETSI Caminos UPC Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas parciales (repaso) Jesús Carrera ETSI Caminos UPC Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Contenido Campos: definiciones y conceptos básicos Operadores diferenciales: gradiente y tal Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y soluciones Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Definiciones: Campo, VER Un campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO): d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación). Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra: VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que f adopte valor estable Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Coordenadas cartesianas. x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o , que son las del vector de posición:   Cambio de coordenadas P es una matriz de rotación Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Tensores Definición Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores. Ejercicio Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: Cambio de coordenadas en matrices Supongase en el sistema y en Sustituyendo Resuta Analogamente Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Valores principales. Círculo de Mohr Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación Direcciones principales Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales: Valores principales Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales Círculo de Mohr Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Campo escalar Definición Función escalar definida sobre el EGO: Ejemplos Temperatura, presiones, viscosidad, etc Visualización Depende de la dimensión del EGO. 1-D: f vs x 2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Campo Vectorial Definición Función vectorial definida sobre el EGO: Visualización Casi solo en 2D. mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza. Ejemplos Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Campo Tensorial Definición Función tensorial definida sobre el EGO: Visualización Difícil Mediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales Ejemplos conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Gradiente Definición Propiedades Ejemplo Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por: Propiedades Ejemplo Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple: Perpendicular a las isolineas de h Orientado en el sentido creciente de las isolineas Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Divergencia Definición Ejemplo Propiedades Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por: Ejemplo Propiedades Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen. 1 2 3 -1 x1 x2 Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Rotacional Definición Ejemplo Propiedades El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial: Ejemplo Propiedades 1 2 3 -1 x1 x2 Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha. El gradiente de un campo es irrotacional: Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Laplaciano Definición Propiedades Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente Propiedades Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Flujo. Teorema de la divergencia f cantidad por unidad de superficie f·n cantidad por unidad de superficie de G Flujo de f a través de G: Cantidad total que pasa (entradas-salidas) Flujo n f G W Teorema de la divergencia Da sentido a la divergencia Se emplea mucho para establecer balances Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Identidades de Green Primera Identidad de Green Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando . Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta: Primera Identidad de Green Se toma un campo escalar y tal que , entonces la primera identidad quedaría como: Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green: Segunda Identidad de Green Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Circulación. Teoremas de Stokes y de Green circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva Circulación L G t f Teorema de Stokes Teorema de Green Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie Versión 2-D del Teorema de Stokes Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

EDP’s de primer orden: Acumulación El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por: Integración La integración es trivial por separación Si a y f son constantes queda: Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

EDP’s de primer orden: Degradación La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es (l=b/a): u b 1 Vel. degrad. Integración La integración es trivial por separación: Integrando, queda: Imponiendo condiciones iniciales: Si l es constante (1/ l es la vida media): Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

EDO’s de primer orden lineales Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante l, el balance es: Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable Sustituyendo en la ecuación original y simplificando: Integrando de nuevo: Imponiendo condiciones iniciales para determinar D: donde es la solución estacionaria. Integración t u Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicas EDP Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda: Con Si esta ecuación define la trayectoria ( ) La ecuación queda: Cuya solución es: O Coefs. ctes. vt conduce a Coefs. variables Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

El término difusivo. Ecuaciones parabólicas Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc: Ecuación de difusión Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda: Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de xD y tD. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp. Adimensionalización Haciendo el cambio: la ecuación queda Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual) Transf de Boltzman Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno Problema Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u0. Por separación de variables Solución tD=.01 tD=0.1 tD=0.8 placa tD=.01 tD=0.1 tD=0.4 cilindro tD=.01 tD=0.1 tD=0.3 esfera u/ u0 Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC x/L

Ec. parabólicas. Solución para pulso instant. Problema Difusión, en medio infinito de una masa M. Solución Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo Para dimensiones n=1, 2 ó 3 La conc. max. Se reduce propordinalmente a Si , Es decir, Empieza a enterarse para tD>0.5 Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Transporte tras acumulación Tras degradación Tras dispersión Tras advección Condición inicial Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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