Simulacion de sistemas dinamicos Métodos de integración de un solo paso

Contenido Sistemas Stiff Sistemas marginalmente estables Metodos de Interpolacion hacia atras

Sistemas Stiff

Sistemas Stiff lineales modos muy rapidos modos muy lentos Un sistema lineal se dice que es stiff cuando: es estable, y sus autovalores tienen partes reales muy distintas

Sistemas Stiff lineales Simulados con cualquier algoritmo explícito, la presencia de los modos rapidos en los sistemas stiff obliga a utilizar un paso de integracion muy pequeño para llevar los valores propios al dominio de estabilidad numérica ¿Cuándo un sistema es stiff?

Definicion de un sistema stiff No existe una definición como tal del concepto stiff (“rígido” en español) en la resolución numérica de EDOs Dos aproximaciones: Las ecuaciones diferenciales de tipo rígido son aquellas ecuaciones donde ciertos métodos implícitos, en particular los métodos BDF (Backward Differentiation Formulae), funcionan mejor, normalmente mucho mejor, que los métodos explícitos (Curtiss y Hirschfelder, 1985). Se dice que una EDO es rígida si su solución numérica para algunos métodos requiere (quizás en una porción del intervalo donde está definida la solución) una disminución del tamaño de paso para evitar la inestabilidad ([Iser98]).

Sistemas Stiff no lineales El concepto de sistema stiff existe para el caso no lineal: Definicion: Un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se dice stiff si, al integrarlo con un metodo de orden n y tolerancia de error local de 10−n, el paso de integracion del algoritmo debe hacerse mas pequeño que el valor indicado por la estimacion del error local debido a las restricciones impuestas por la region de estabilidad numerica.” Según Cellier y Kofman

Integración de sistemas stiff Para integrar sistemas stiff es necesario buscar metodos que incluyan en su region estable el semiplano izquierdo completo del plano (λ·h), o al menos una gran porcion del mismo. Dominio de estabilidad numérica del algoritmo de Euler inverso

Metodos de integracion A–estables Definicion: Un metodo de integracion que contiene en su region de estabilidad a todo el semiplano izquierdo del plano (λ·h) se denomina absolutamente estable, o, mas simplemente, A–estable. Si un metodo es A-estable podemos elegir la longitud de paso h (al menos para sistemas lineales) solo por motivos de precision, sin restricciones debidas a la inestabilidad. Los metodos A–estables son metodos implicitos

Los metodos explicitos de Runge–Kutta Los algoritmos Runge-Kutta explícitos general pueden ser descritos como sigue: Sólo se usan las derivadas de los pasos anteriores: j etapa 0 etapa j última etapa ( l ) La matriz β es una matriz triangular

Los metodos implicitos de Runge–Kutta Una forma de obtener metodos A–estables es modificar la receta para desarrollar algoritmos RK: permitiendo elementos no nulos por encima de la diagonal de la matriz β equivalentemente, sobre y por encima de la diagonal de la tabla de Butcher

Metodos implicitos de Runge–Kutta En especial, los que solo permiten elementos no nulos sobre la diagonal de la tabla de Butcher se denominan: metodos de Runge–Kutta diagonalmente implicitos o DIRK Metodos explicitos

Sistemas marginalmente estables

Sistemas marginalmente estables Si algun valor propio (no repetido) de un sistema lineal está localizado sobre el eje imaginario, se dice que el sistema es marginalmente estable Estable Inestable Im{l} Re{l} Marginalmente estable Semi-plano izquierdo Semi-plano derecho El metodo de Euler directo no funciona ya que ningun paso de integracion mostrara el comportamiento oscilatorio no amortiguado.

Aproximación lineal de un sistema no lineal Considerando el sistema no-lineal autónomo: Entonces, cerca del origen, Cerca del origen, la dinámica del sistema esta dada en términos de la matriz Jacobiana del sistema dinámico

Aproximación lineal de un sistema no lineal Denotando A = entonces, el sistema es denominado la linealizacion (o aproximación lineal) del sistema no lineal original en el punto de equilibrio 0.

Teorema de Lyapunov Si el sistema linealizado es estrictamente estable CASO 1: El sistema linealizado es estrictamente estable Si el sistema linealizado es estrictamente estable entonces el punto de equilibrio es asintóticamente estable (para el sistema no lineal real). (todos los valores propios de A están estrictamente en el semi plano izquierdo complejo)

Teorema de Lyapunov Si el sistema linealizado es inestable CASO 2: El sistema linealizado es inestable Si el sistema linealizado es inestable entonces el punto de equilibrio es inestable (para el sistema no lineal real). (esto es, si al menos un valor propio de A está estrictamente en el semi plano derecho complejo)

Teorema de Lyapunov Si el sistema linealizado es marginalmente estable CASO 3: El sistema linealizado es marginalmente estable Si el sistema linealizado es marginalmente estable entonces no se puede concluir nada de la aproximación lineal (todos los valores propios de A están en el semi plano izquierdo complejo, pero al menos uno de ellos está sobre el eje j ) (el punto de equilibrio puede ser estable, asintóticamente estable, o inestable para el sistema no lineal).

Sistemas marginalmente estables Definicion: Un sistema dinamico cuyo Jacobiano tiene sus autovalores dominantes sobre o muy cerca del eje imaginario se denomina Marginalmente Estable. Para atacar estos problemas, son necesarios algoritmos de integración que aproximen bien sobre el eje imaginario.

Métodos de integración numérica F-estables Definicion: Un método de integración numérica cuyo dominio de estabilidad numérica consiste exclusivamente del semiplano izquierdo completo del plano (λ · h) se denomina fielmente estable, o simplemente, F–estable. Estable Im{l} Re{l} Semi-plano izquierdo Semi-plano derecho

Métodos de integración numérica F-estables Los algoritmos de integración F-estables aproximan bien sobre el eje imaginario. Desafortunadamente, los algoritmos F–estables no funcionan bien con los sistemas stiff. Cuando un autovalor tiende a − ∞, el modo correspondiente tiende a cero en un tiempo muy pequeño. Cuando un autovalor tiene su parte real muy negativa se dice que tiene un gran amortiguamiento.

Métodos de integración numérica L-estables Al utilizar un metodo F–estable a un sistema con amortiguamiento infinito , resulta que el amortiguamiento de la solucion numerica no es infinito. Un metodo numerico de integracion que es A–estable y, ademas, sus propiedades de amortiguamiento tienden a infinito cuando Re{λ} → −∞, se denomina L–estable Definicion:

Todos los algoritmos F–estables son A–estables pero nunca L–estables. Conclusión En consecuencia: Un sistema que es a la vez marginalmente estable y stiff es dificil de tratar Al tratar con sistemas stiff, no es suficiente utilizar algortimos A–estables, sino que tambien deben ser L–estables. Todos los algoritmos F–estables son A–estables pero nunca L–estables.

Metodos de Interpolacion hacia Atras

Metodos de Interpolacion hacia Atras Los metodos de Interpolacion hacia atrás, o métodos de backinterpolation, son una clase especial de algoritmos Runge-Kutta implicitos (IRK) Los metodos BI, (por BackInterpolation) pueden hacerse F–estables, L–estables, o algo en el medio de ambas caracteristicas de acuerdo a la necesidad del usuario. Para tratar los problemas stiff y marginalmente estables. Son algoritmos A–estables.

Metodos de Interpolacion hacia Atras Veamos nuevamente el metodo de Euler Inverso (BE): Es posible reformular el algoritmo BE de la siguiente manera Luego, un paso hacia adelante utilizando BE puede interpretarse como un paso hacia atras de valor −h utilizando FE.

Metodos de Interpolacion hacia Atras Una manera de implementar BE entonces: Estimar un valor inicial de xk +1, Integrar hacia atras en el tiempo Iterar, luego, sobre la condicion “inicial” desconocida xk +1 hasta acertar el valor “final” conocido xk . Esta idea puede tambien extenderse a cualquier algoritmo RK Los metodos resultantes se denominan Backward Runge–Kutta o metodos de Runge–Kutta hacia atrás. Se abrevian BRK.

Ejemplo: un metodo BRK2 Por ejemplo, podemos obtener un metodo BRK2 integrando hacia atras con el metodo de Heun: Integrando hacia adelante con el metodo de Heun:

Es posible expresar k1 y k2 solo en terminos de k1 y k2 Ejemplo: un metodo BRK2 Por ejemplo, podemos obtener un metodo BRK2 integrando hacia atras con el metodo de Heun: Integrando hacia atras con el metodo de Heun: Es posible expresar k1 y k2 solo en terminos de k1 y k2

Del metodo solo se recoge la idea. Normalmente no se implementa Ejemplo: un metodo BRK2 Implementación del algoritmo: Tabla de Butcher: Del metodo solo se recoge la idea. Normalmente no se implementa

Algoritmos BRK de orden 1…4 Siguiendo esta idea, podemos obtener una serie de algoritmos de orden creciente para el sistema lineal Con matrices F:

Algoritmos BRK de orden 1…4 Dominios de estabilidad de los metodos BRK de orden 1…4 Los dominios de estabilidad de los metodos BRK son imagenes en espejo de los dominios de estabilidad de los metodos explicitos de RK.

Los algoritmos de interpolacion hacia atras La idea de la interpolacion hacia atras se puede implementar de manera diferente: Metodo ciclico: Primera etapa: Medio paso de RK directo (FRK) Segunda etapa: Medio paso de RK hacia atrás (BRK) Iterar hasta que la diferencia entre los dos valores de xk + 1/2 obtenidos sea cero Iteracion: xk + ½ xk xk + 1 Left   Right

Este algoritmo es tambien conocido con el nombre de regla trapezoidal El algoritmo BI con RK1 El algoritmo de interpolacion hacia atras con RK1 (BI1) puede ser implementado asi: Primera etapa: Segunda etapa: Iteracion: Usando la iteracion de Newton: Este algoritmo es tambien conocido con el nombre de regla trapezoidal

Los algoritmo BI con RK1…4 Podemos obtener una serie de algoritmos de orden creciente para el caso lineal Todos los algortimos BI son F-estables

Implementacion del algoritmo BI1 Primera etapa: Primera estimacion de xk + 1 Primera etapa: Medio paso de RK directo (FRK) xk + ½ xk Left 

Implementacion del algoritmo BI1 Segunda etapa: Medio paso de RK hacia atrás (BRK) Calculo del Jacobiano xk + ½ xk + 1  Right

Implementacion del algoritmo BI1 Matriz Hessiana Jacobiana inversión :Primera iteracion de Newton Control del error En cada iteración de Newton, en general, es necesario calcular la matriz Jacobiana, así como invertir la matriz Hessiana

Implementacion del algoritmo BI1 Primera etapa: :Primera iteracion :Segunda iteracion

Implementacion del algoritmo BI2 dos Jacobianas Hessiana

Implementacion de los algoritmos BI Si asumimos que el Jacobiano permanece casi sin cambios durante cada paso de integracion (iteracion de Newton modificada), podemos calcular tanto el Jacobiano como el Hessiano al principio del paso, La secuencia para las matrices H de los metodos BI1…4 es:

Algoritmos One-legged Es posible intercambiar el orden de ejecucion entre el paso hacia adelante y el paso hacia atrás Para el algoritmo BI1 la matriz F es: Que corresponde al algoritmo El cual es conocido como regla implícita del punto medio

Algoritmos One-legged De igual manera es posible generar algoritmos de mayor orden Ambos son idénticos en sus propiedades lineales pero se comportan de manera diferente con respecto a sus características no lineales * Los algoritmos originales son un poco más exactos que los one-legged * Los one-legged tienen mejores propiedades de estabilidad no lineal (contractividad)

Los metodos – θ xk xk + θ xk + 1 Una manera de transformar los metodos BI F–estables en metodos con dominios de estabilidad mas fuertes es romper la simetria entre el paso hacia adelante y el paso hacia atras. xk + θ xk xk + 1 Left  θ 1 – θ  Right Con ϑ < 0.5 se produce una serie de metodos de creciente dominio de estabilidad hasta que, con ϑ = 0.0, se obtiene un conjunto de algoritmos L–estables.

Dominios de Estabilidad de los metodos– ϑ BI, con ϑ = 0.4 Todos estos algoritmos, con excepción de BI40.4 son estables, pero ninguno es L–estable.

Un metodo muy bueno es el algoritmo BI4/50.45 Los metodos – θ Una manera de transformar los metodos BI en L–estables es incrementar el orden de exactitud del algoritmo BRK en uno. FRK4 BRK4 xk + θ xk xk + 1 Left  θ 1 – θ  Right Un metodo muy bueno es el algoritmo BI4/50.45

Fuentes Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York

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