ACÚSTICA ARQUITECTÓNICA complementos formativos MASTER otoño 2014

ACÚSTICA ARQUITECTÓNICA MODOS PROPIOS DE UN RECINTO. PARTE 1 calendario otoño 2014 T E O R I A L A B O R A T O R I O   12 NOV MIÉRC 17.30 – 19.30 Tres teorías de Acústica en recintos. Modos 1D, 2D, 3D 17 NOV LUNES 15.30 – 17.30 Densidad modal. Damping. Frecuencia de Schroeder 19 NOV MIÉRC 15.30 – 17.30 Cálculo del campo acústico en recintos. ENTREGA 1 19 NOV MIÉRC 17.30 – 19.30 MODOS PROPIOS DE UN RECINTO. PARTE 1 24 NOV LUNES 15.30 – 17.30 Campo difuso. Fórmula de Sabine 26 NOV MIÉRC 15.30 – 17.30 Difusión de sonido. 26 NOV MIÉRC 17.30 – 19.30 MODOS PROPIOS DE UN RECINTO. PARTE 2 1 DIC LUNES 15.30 – 17.30 Modelos de reverberación 3 DIC MIÉRC 15.30 – 17.30 Resolución de problemas 3 DIC MIÉRC 17.30 – 19.30 MEDIDA DE TIEMPO DE REVERBER. CON SPLAB 8 DIC F I E S T A 10 DIC MIÉRC 15.30 – 17.30 Teoría de rayos. Fuentes imaginarias. 10 DIC MIÉRC 17.30 – 19.30 MEDIDA DE TIEMPO DE REVERBER. CON 01DB 15 DIC LUNES 15.30 – 17.30 Ecogramas 17 DIC MIÉRC 15.30 – 17.30 Superficies curvas. ENTREGA 2 17 DIC ECOGRAMAS ENTREGA 1 ENTREGA 2: 9 de enero de 2015

Vladímir Úlin e-mail: vulin@diac.upm.es desp. 8103 tel. 91 336 55 03 profesor: Vladímir Úlin e-mail: vulin@diac.upm.es desp. 8103 tel. 91 336 55 03 Tutorías: 6 horas semanales (avisar previamente por correo) Página web: http://www.etsist.upm.es/info_pers/info_pers_pers?idTrabajador=e0d97a95d33ca3db8e8e4d81adbca986&departamento=TSC

BIBLIOGRAFÍA 1. KUTTRUFF H., Acoustics, Spon Press, 2007 2. KUTTRUFF H., Room Acoustics , Spon Press, 2009 3. JACOBSEN F., otros, Fundamentals of Acoustics and Noise Control, Technical University of Denmark, 2011 (*) 4. KINSLER L., otros, Fundamentals of Acoustics, John Wiley, 2000 5. CREMER, L., MULLER, H., Principles and Applications of Room Acoustics, Applied Science Publishers, 1982 6. ALTON EVEREST F., The Master Handbook of Acoustics, McGraw‐Hill, 2001 7. VIGRAN T.E., Building Acoustics, Taylor & Francis, 2008 8. CARRIÓN ISBERT A., , Diseño acústico de espacios arquitectónicos, Edicions UPC, 1998 9. RECUERO M., GIL C., Acústica Arquitectónica. Distribuido por Paraninfo. Madrid 1992

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KUTTRUFF SOBRE AA Como en general en Arquitectura, en el diseño de una sala intervienen dos principios: el arte y la técnica. Cada arquitecto trata de crear algo nuevo y original. Con el tiempo evolucionan mucho tanto las formas y estilos arquitectónicos, como la tecnología y materiales de construcción. Por tanto no siempre es posible utilizar la experiencia anterior y un consultante acústico se enfrenta frecuentemente con los problemas nuevos. Para resolverlos es inevitable recurrir a los principios físicos y desarrollos matemáticos. No es posible diseñar y construir a base de las soluciones del pasado. En general el diseño acústico de un recinto de grandes dimensiones es muy complicado. Muchos factores influyentes todavía no están suficientemente estudiados. Hasta ahora no es posible calcular el campo acústico dentro de una sala con mucha precisión. Son inevitables unas simplificaciones y aproximaciones. Además la relación entre las características objetivas del campo acústico, medibles y calculables, y la impresión auditiva de los oyentes no es perfectamente determinada. Tampoco es sencillo promediar la impresión auditiva de muchas personas. Por otra parte, la valoración de la calidad acústica de un recinto finalmente es subjetiva. Y es más importante que cualquier medida objetiva.

El espectro de sonido dentro de un recinto podemos dividir en 4 zonas: A, B, C y D con tres frecuencias destacadas: B A C D F1 F2 F3 20 Hz 20 KHz F1= frecuencia de corte = c/2L_max, por debajo de F1 no hay modos. F2= frecuencia de Schroeder , los modos se separan tan poco entre si que “se funden” F3= 4F2 , rayos se hacen suficientemente finos ……………………………………………………………………… A + B < F2 TEORÍA ONDULATORIA En recintos grandes la zona A se queda por debajo del áudio (20 Hz) C entre F2 y F3 es la zona “transitória”, donde la frecuencia es demasiado baja para la teoría geométrica y demasiado alta para teoría ondulatoria (vale para cualquier frecuencia, pero sumando modos es inabordable, mallas son enormes)  TEORÍA ESTADÍSTICA D > F3 TEORÍAS ESTADÍSTICA Y GEOMÉTRICA

TEORÍA ONDULATORIA La TEORIA ONDULATORIA se basa en la ecuación de onda que describe con detalle el comportamiento de fluido. Es válida para cualquier frecuencia y permite obtener todos los parámetros del campo acústico. ES LA TEORÍA MÁS PRÓXIMA A LA REALIDAD. Por tanto es imprescindible para entender los fenómenos acústicos dentro de un recinto. INCONVENIENTES: 1) La solución exacta en la TEORIA ONDULATORIA es posible sólo para un recinto con la geometría muy simple. 2) Métodos numéricos : no se pueden aplicar en recintos grandes para audiofrecuencias : f = 1 kHz  λ=34 cm  número total de elementos y nodos se hace enorme. 3) La cantidad de los modos propios en muchos casos prácticos se hace inabordable.

TEORÍA ONDULATORIA caso 1 D Cálculo del modo propio de un tubo “abierto – cerrado” por el programa SYSNOISE C:\Sysnoise\trabajo\anim_modos_recinto\*2.sdb

Onda estacionaria para un tono puro, un tercio y una octava (en dB) Fichero REFLEX_TERCIO.cmd f_centr = 1 kHz refl=0.5 dist 0 – 1m

Distribución espacial de la presión acústica en un modo propio (1D) para tres tipos de la impedancia de las paredes: infinita reactiva pura (masa) real (pared absorbente) Kuttruff, Room Acoustics, Fig.3.5

caso 2 D

Ver el fichero “MODOS_MEBRANAS_PLACAS” Acústica_CF transparencias 26, 30, 32, 33, 35,37,38 (membranas circulares)

MODO 1 8.12 Hz

MODO 17 97.29 Hz

Can One Hear the Shape of a Drum? Figuras isoespectrales

MODOS DE UN RECINTO

CASO 3D C B A ecuación de onda en las paredes: (ver la página siguiente) En un recinto rectangular y con las paredes rígidas los modos propios son: B A C

para un elemento de fluido ξ ξ+Δξ Segunda ley de Newton para un elemento de fluido p p+Δp Por tanto (ecuación de Euler): En el caso armónico (una sola frecuencia) Cuando las paredes son absolutamente rígidas, las condiciones frontera son:

0.95 m 1.4 m 1.65 m Madrid, 12 de julio de 2010

Frecuencias calculadas teoricamente A= 1. 65 B= 1. 4 C=0 Frecuencias calculadas teoricamente A= 1.65 B= 1.4 C=0.95 velocidad del sonido 340 m/s

http://www.hunecke.de/en/calculators/room-eigenmodes.html

MODO 2·1·0

axial tangencial oblicuo Modos axiales: MAS IMPORTANTES se forman por dos ondas – una pareja de ondas progresivas enfrentadas, que se propagan a lo largo de uno de los ejes X,Y o Z Modos tangenciales : se forman por cuatro ondas – dos parejas de ondas progresivas enfrentadas, que se propagan en uno de las planos XOY, XOZ o YOZ Modos oblicuos : se forman por seis ondas – tres parejas de ondas progresivas enfrentadas, que se propagan a lo largo de uno de los ejes X,Y o Z axial tangencial oblicuo (m, 0, 0) (m, n, 0) (m, n, q) La caída de los modos axiales, tangenciales y oblicuos se produce a diferentes velocidades (oblicuos a máxima velocidad por reflexiones más numerosas).

Mapas sonoros de las superficies de un recinto rectangular para sus primeros modos propios. Color azul indica los planos nodales de la presión acústica X Y Z SYSNOISE 1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 0 2 1 0 1 1 1

www.signal.uu.se/Courses/CourseDirs/AdaptSignTF/Acoustics.pdf

Proporciones óptimas entre las dimensiones de un recinto rectangular Artículo de Trevor Cox http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.135.9872&rep=rep1&type=pdf

Modos propios de los recintos rectangulares cuya altura es de 10 pies = 3.048 m. otras dos dimensiones están de acuerdo con la tabla de la transparencia anterior Hz

DENSIDAD MODAL

K – espacio ky k3,1 kx Cada “nodo” de la rejilla es un modo. Le corresponde su celda (por encima de él a su derecha, si no contamos con los nodos en los ejes). Area de una celda k3,1 Número N de los modos por debajo de “k” = número de los nodos en el primer cuadrante dentro del círculo con el radio k  kx 34

kz ky k1,3,2 kx π/C π/B π/A “K – espacio” 1 “nodo” de la rejilla = 1 Modo = 1 volumen elemental ky k1,3,2 π/C π/B kx π/A Modos axiales tangenciales oblicuos

A=1.65 m B=1.4 m C=0.95 m VOL= ABC SUP=2(AB+AC+BC) LONG= 4(A+B+C) Número de modos por cada banda de 50 hz A=1.65 m B=1.4 m C=0.95 m VOL= ABC SUP=2(AB+AC+BC) LONG= 4(A+B+C) Modos: oblicuos tangenciales axiales

Respuesta en frecuencia de un recinto rectangular, 8 x 5.6 x 4 m Example (Vigran) En un recinto con dimensiones 6.2 x 4.1 x 2.5 m ΔN/Δf para 100 Hz es igual a 0.361. Dentro de un tercio de octava con la frecuencia central 100 Hz tenemos ≈ 0.23⋅100⋅0.361 ≈ 8 modos. El primer término aporta 5 modos. Subiendo la frecuencia el primer término se hace dominante. Dentro de la banda de 23 Hz centrada en 1000 Hz tendremos unos 500 modos (el primer término aporta 470 modos). Dentro de un tercio de octava centrada a 1000 hz tendremos unos 5000 modos. Respuesta en frecuencia de un recinto rectangular, 8 x 5.6 x 4 m

Frecuencia de Schroeder 1/4 3 dB ANCHO DE BANDA

x(t) Frecuencia de Schroeder 2/4 1 GRADO DE LIBERTAD q OSCILACIÓN LIBRE: m x=0 F0ejωt |v|2 ~ potencia RESONANCIA  Potencia = = desarrollada por la fuerza = absorbida por el amortiguador f Δω Potencia = cuando = R2 Potencia = cuando = 2R2 es decir, cuando excluimos q  Relación entre las respuestas en frecuencia y en tiempo

Frecuencia de Schroeder 2/4 A partir de la definición de la densidad modal : expresamos la separación en frecuencia entre dos modos : Según criterio de Schroeder, en el ancho de banda Δfn de un modo entran TRES frecuencias propias: Expresamos Δfn por el tiempo de relajación τ : Pasamos del tiempo de relajación τ al tiempo de reverberación T: Finalmente la Frecuencia de Schroeder es:

Frecuencia de Schroeder 4/4 En las salas relativamente grandes estamos por encima de la “frecuencia de Schroeder” fs . Por ejemplo, un aula universitario, volumen = 10·10·3 = 300 m3, TR = 1 s, la “frecuencia de Schroeder” fs es relativamente baja: Por tanto las frecuencias de interés (por ejemplo, el espectro de la voz se sitúa por encima de 100 Hz) estarán por encima de la fs. Excitando una frecuencia, “se despiertan” varios modos a la vez. Estaremos en el espectro continuo donde la respuesta en frecuencia de la sala es mas plana . En las salas pequeñas las frecuencias propias son altas ( f ~ c/L ) y la “frecuencia de Schroeder” fs es relativamente alta. Por tanto parte de las frecuencias de interés estarán por debajo de la fs, donde serán importantes modos individuales. La excesiva separación entre los modos en esta parte del espectro debilitará las frecuencias entre los modos. La no planitud de la respuesta en frecuencia de la sala puede provocar las coloraciones del sonido (la transparencia siguiente). CRITERIO DE BONELLO: El número de los modos propios en un tercio de octava tiene que ser superior o igual que en el tercio anterior.

Recinto grande presión fs frec presión fs frec 100 Hz Recinto pequeño

CÁLCULO DEL CAMPO ACÚSTICO DENTRO DE UN RECINTO

= solución de la ecuación de onda para una fuente puntual FUNCIÓN DE GREEN = = solución de la ecuación de onda para una fuente puntual (P.A.Nelson, S.L:Elloitt, Active Control of Sound) x = punto de recepción (3D) y = punto de emisión (3D) En campo libre: Entonces para cualquier fuente con la velocidad volumétrica continua distribuida por el espacio : Para un conjunto de monopolos:

En un recinto rectangular tenemos modos propios que satisfacen la ecuación de onda sin fuentes: Y también satisfacen las condiciones frontera en las paredes: Los modos forman un conjunto completo de funciones “ortonormales” capaz de representar cualquier función como una combinación lineal de estos modos (igual que la Serie de Fourier). Por tanto podemos suponer que Sustituyendo en la ecuación de onda: y teniendo en cuenta la propiedad de los modos propios obtenemos:

Multiplicamos ambas partes de esta ecuación por e integramos por todo el volumen V con respecto a la variable x. Por la “ortonormalidad” de los modos propios en la parte izquierda quedará sólo un sumando con n = m: Por la la propiedad de la función delta en la parte derecha quedará sólo: Asi obtenemos que: Si además pasamos de “k” a “ω” y tendremos en cuenta la absorción de las paredes ( δ = constante de amortiguamiento) finalmente llegamos a la presión acústica creada por una fuente puntual en un recinto rectangular con paredes rígidas para cualquier frecuencia

Finalmente el fasor de la presión acústica originada por un monopolo con un tono puro dentro de un recinto es: Suponemos que las paredes son absolutamente rígidas y que la absorción es pequeña. EJEMPLO Recinto de laboratorio LX=1.65 LY=1.4 LZ=0.95 fuente en (0.1, 0.2, 0.3) δ = 0.1 5 primeros modos plano X/Y (Z=0.1)

/Herram/Anim/Repro/Menu_com/ Abrir/2013-14…AA_CF… Si no funciona la página anterior: Abrir MCAD /Herram/Anim/Repro/Menu_com/ Abrir/2013-14…AA_CF… .anim_modos…CAMPO_anim/ Menu_com/Velocidad/min(abajo)/Repro Cuando termina utilizar control manual

T.VIGRAN Aquí la atenuación está introducida con el tiempo de reverberación T ( en vez de la constante δ ). En el cálculo aportaron 10 primeros modos propios.

TR = 1 s Transformada Fourier de la función de transferencia (transp. anterior)