Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo AREA DE FISICA UNIDAD 7: Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo 7-1 Energía cinética de rotación. 7-2 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones. 7-3 Momento de torsión. 7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo. 7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación. Profesor: 7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido. 7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas. 7-8 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira. 7-9 Conservación de la cantidad de movimiento angular.

7-1 Energía cinética de rotación AREA DE FISICA 7-1 Energía cinética de rotación Ya vimos que: mi O

7-1 Energía cinética de rotación Por lo tanto, podemos escribir AREA DE FISICA 7-1 Energía cinética de rotación A la cantidad: MOMENTO DE INERCIA I mi O Por lo tanto, podemos escribir

AREA DE FISICA Ejemplo ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?

AREA DE FISICA 7-2 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones. Cuando: n  m  0   Sabiendo que:

Momento de inercia de un cilindro solido AREA DE FISICA Momento de inercia de un cilindro solido Profesor:

AREA DE FISICA Momento de inercia de un cilindro solido Profesor:

Momento de inercia, aplicaciones. AREA DE FISICA Momento de inercia, aplicaciones. Profesor:

AREA DE FISICA Teorema de Steiner           𝒚´ 𝒚     Profesor:     𝒚 𝑪𝑴            

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS AREA DE FISICA Teorema de Steiner                 𝒚´ 𝒚   Profesor:     𝒚 𝑪𝑴       TEOREMA DE STEINER Ó TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS  

AREA DE FISICA Teorema de Steiner EJEMPLO: MOMENTO DE INERCIA DE BARRA RÍGIDA UNIFORME DE MASA M Y LONGITUD L RESPECTO A EJE QUE PASA POR UNO DE SUS EXTREMOS Profesor:

AREA DE FISICA 7-3 Momento de torsión Si empujamos un objeto con libertad de moverse, se moverá Algunos objetos se desplazan sin girar, otros giran sin desplazarse y otros se desplazan y giran al mismo tiempo ¿Qué hace que un objeto gire al aplicar una fuerza? Cuando abrimos una puerta, ó apretamos una tuerca, ó abrimos una canilla se ejerce una fuerza de giro. Esa fuerza de giro produce un momento ó torque

AREA DE FISICA 7-3 Momento de torsión Si queremos que un objeto se mueva Aplicamos una FUERZA LAS FUERZAS TIENDEN A ACELERAR LOS OBJETOS Si queremos que un objeto gire Aplicamos un TORQUE LOS TORQUES PRODUCEN ROTACIÓN DE OBJETOS

AREA DE FISICA 7-3 Momento de torsión El Torque se produce cuando la fuerza se aplica con “apalancamiento” “Apalancamiento” ó palanca es el vínculo que hay entre la fuerza aplicada y el punto respecto al que gira el objeto palanca Nunca tiraríamos de la perilla hacia el costado F La experiencia nos indica que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo bisagra 90°

   AREA DE FISICA aún más momento más momento momento d F d d Ya vimos que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo Ahora, ¿Cómo influye la distancia entre el eje de giro y el punto de contacto de la fuerza?. Es decir la distancia del brazo de palanca  fuerza aún más momento d  fuerza F momento d fuerza  más momento d Aunque la magnitud de la fuerza sea la misma, el momento es distinto en cada caso. Momento = brazo de palanca x fuerza 

AREA DE FISICA 7-3 Momento de torsión O P

Línea de acción de la fuerza AREA DE FISICA 7-3 Momento de torsión Línea de acción de la fuerza P O Brazo de palanca

AREA DE FISICA 7-3 Momento de torsión O  P

AREA DE FISICA Signo del momento Se le asigna el signo positivo (+), cuando el momento de la fuerza hace que el cuerpo gire en sentido contrario a las agujas del reloj Se le asigna signo negativo (-), cuando el momento de la fuerza hace girar al cuerpo en sentido horario. O O

Momento de fuerzas concurrentes AREA DE FISICA Momento de fuerzas concurrentes P O

Momento de fuerzas concurrentes AREA DE FISICA Momento de fuerzas concurrentes P O El momento de la resultante de dos o mas fuerzas concurrentes a un punto contenido en un plano de las mismas, es igual a la suma de los momentos de las fuerzas concurrentes, con respecto al mismo punto”.

Momento de fuerzas no concurrentes AREA DE FISICA Momento de fuerzas no concurrentes O

Sentido de las manecillas del reloj AREA DE FISICA Ejemplo Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para la barra que se muestra abajo: 300 6 m 2 m 4 m 20 N 30 N 40 N A El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales. tR = t20 + t30 + t40 = -40 N m -120 N m + 80 N m tR = - 80 N m Sentido de las manecillas del reloj

AREA DE FISICA 7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo Profesor: m O

AREA DE FISICA 7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo Eje z r dm

AREA DE FISICA Dos bloques, como muestra la figura, están conectados por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea de radio 0,25m y un momento de inercia I. El bloque sobre el plano inclinado sin fricción esta subiendo con una aceleración constante . Determinar las tensiones de las dos partes de la cuerda y el momento de inercia de la polea

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AREA DE FISICA a

AREA DE FISICA 𝐹 𝜑 𝑑𝑊= 𝐹 .𝑑 𝑠 𝑑𝑊=𝐹.𝑑𝑠.𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑃 𝑑𝑠=𝑟.𝑑𝜃 𝑑𝑊=𝐹.𝑠𝑒𝑛𝜑.𝑟.𝑑𝛼 7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación 𝐹 𝑑𝑊= 𝐹 .𝑑 𝑠 𝜑 𝑑𝑊=𝐹.𝑑𝑠.𝑠𝑒𝑛𝜑 Profesor: 𝑃 𝑑𝑠=𝑟.𝑑𝜃 𝑑𝑊=𝐹.𝑠𝑒𝑛𝜑.𝑟.𝑑𝛼 𝑑 𝑠 𝑃 𝜏 𝑑𝑊=𝜏.𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑟 Ecuación del Trabajo de una fuerza en una rotación infinitesimal 𝑂

7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación AREA DE FISICA 7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación Ya vimos que: 𝐹 𝜑 𝜏=𝐼∙ 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =𝐼∙ 𝑑𝜔 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝐼∙ 𝑑𝜔 𝑑𝜃 ∙𝜔 Profesor: 𝑑 𝑠 𝜏.𝑑𝜃=𝐼∙𝜔.𝑑𝜔 𝑃 Reordenando: =𝑑𝑊 = 1 2 𝐼∙ 𝜔 2 𝑑𝜃 𝑊= 𝜔 𝑖 𝜔 𝑓 𝐼∙𝜔.𝑑𝜔 𝑟 𝑊= 1 2 ∙𝐼∙ 𝜔 𝑓 2 − 1 2 ∙𝐼∙ 𝜔 𝑓 2 𝑂 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética para la rotación

AREA DE FISICA 7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Ya vimos: Los cuerpos pueden tener movimiento de traslación Los cuerpos pueden tener movimiento de rotación

AREA DE FISICA 7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Pero generalmente: Los cuerpos tienen movimiento de traslación y rotación simultáneamente Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento”

AREA DE FISICA 7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento” La velocidad en cada punto, se obtiene con la suma de los dos movimientos superpuestos

AREA DE FISICA 7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Si rueda sin deslizar En el punto de contacto Por lo tanto: abajo centro arriba

AREA DE FISICA 7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido Si la velocidad angular es  Y el radio de la rueda es R

AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación Ya vimos que

AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación De esta manera, la Energía Cinética es: Donde I es el momento de inercia de un disco que gira alrededor de un eje que pasa por su borde

AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación Aplicando el Teorema de Steiner (de los ejes paralelos)

AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación Aplicando distributiva recordando

Esto es aplicable solo a casos de rodamiento sin deslizamiento AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación Esto es aplicable solo a casos de rodamiento sin deslizamiento Recordando la conservación de la Energía Mecánica

AREA DE FISICA Energía cinética de rotación y traslación conservación de la Energía Mecánica para cuerpos que ruedan sin deslizarse.

AREA DE FISICA Ejemplo

AREA DE FISICA Ejemplo

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Cantidad de movimiento lineal Cantidad de movimiento angular AREA DE FISICA 7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas Cantidad de movimiento lineal Cantidad de movimiento angular Módulo

AREA DE FISICA 7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas Recordando y

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AREA DE FISICA Para un sistema de partículas: A medida que pasa el tiempo El torque asociado a fuerzas internas es cero Profesor:

Si el movimiento es circular AREA DE FISICA 7-8 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira Recordando Si el movimiento es circular

Si el movimiento es circular Considerando un cuerpo rígido AREA DE FISICA Recordando Si el movimiento es circular Considerando un cuerpo rígido

Sumando tenemos la cantidad de movimiento angular total del cuerpo AREA DE FISICA Sumando tenemos la cantidad de movimiento angular total del cuerpo Como =cte Cantidad de movimiento angular para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría

Si el torque neto es cero AREA DE FISICA 7-9 Conservación de la cantidad de movimiento angular Recordando Si el torque neto es cero Cuando el torque neto externo que actúa en un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total permanece constante

AREA DE FISICA • La conservación de la cantidad de movimiento angular es una ley de conservación universal, válidas en todas las escalas, desde los sistemas atómicos y nucleares , hasta los movimientos de las galaxias

AREA DE FISICA Una persona se para en el centro de una mesa giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una pesa de 5Kg en cada mano. Se lo pone a girar sobre un eje vertical a razón de 2rev/s. Calcular la nueva velocidad angular de la persona si se lleva las pesas al pecho. Su momento de inercia (sin las pesas) es de 3Kg.m2 con los brazos estirados y baja a 2,2Kg.m2 si pone las manos en el pecho. Las pesas están a 1m del eje al principio y a 0,20m al final; trátelas como partículas

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