Teoría de Portfolio Chile Escuela de Ingeniería Comercial K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Cartera y Cartera Eficiente Cartera Cartera, es la combinación de activos o títulos financieros. Cartera Eficiente Cartera Eficiente, es el conjunto de inversiones eficientes que proporcionan el retorno esperado mas alto posible para cualquier nivel de riesgo o el nivel de riesgo más bajo posible para cualquier retorno K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Selección de Títulos Bajo Condiciones de Riesgo Se seleccionan las alternativas de inversión en base a: Retorno Esperado, y Varianza o Desviación Estándar. Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí. K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Retorno Esperado y Riesgo K & E Design ® 2000 n E(Ri) =  Pij * Rij j=1 Retorno Esperado = 2 n _  y =  Pij * (Rij – Ri) 2 j=1 Varianza =

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Dos Activos K & E Design ® 2000 R p =  R s + (1-  )R c E(R p ) =  R s )  )E(R c ) Donde:  = Porcentaje a invertir en ACTIVO S (1 –  ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C (1 –  ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Varianza de Una Cartera de Dos Activos K & E Design ® 2000 Donde:  = Porcentaje a invertir en ACTIVO S (1 –  ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C (1 –  ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C n  Pij [Ri – E(R) ] 2 i=1 VAR(R) = 2  VAR(R s ) + 2  (1 –  ) COV(R s,R c ) + (1-  ) 2 VAR(R c ) VAR(R p ) =

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Varianza del Portfolio,  p 2 Es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de los retornos del portfolio respecto a los del retorno medio. K & E Design ® 2000  p 2 = E (Rp – Rp) 2   p 2 = E [X 1 *R 1j + X 2 *R 2j – X 1 R i + X 2 *R 2 ] 2 Distintos Retornos del Valor 1 RpRp   p 2 = E [X 1 (R 1j – Ri) + X 2 (R 2j – R 2 )] 2   p 2 = X 1 2  X 1 X 2 E [(R ij – R i ) (R 2j – R 2 )] +X 2 2  2 2  E [(R ij – R i ) (R 2j – R 2 )] Covarianza  12 Es la Covarianza y se designa:   12  p 2 = X 1 2  X 2 2  X 1 X 2  12

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Perfecta Correclación Positiva:  = + 1 Luego: K & E Design ® 2000  p 2 = [X 2 2  c 2 + (1 –X c ) 2  s 2 +2X c (1 – X c ) * 1 *  c *  s ] 1/2 Esto es (X c  c + (1 – X c )  s ) 2  p = X c  c + (1 – X c )  s _ _ _ Rp = XcRc + (1 – Xc) Rsy  = +1 El Riesgo y Retorno Combinación Lineal. R y , Promedio Ponderado del Retorno y Riesgo no se Diversifica el Riesgo O sea, cuando  = +1 El Riesgo y Retorno son una Combinación Lineal. En este caso de Perfecta Correlación el R y , de un Portfolio de 2 activos es Promedio Ponderado del Retorno y Riesgo de los activos individuales, o sea, no se Diversifica el Riesgo

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Perfecta Correclación Negativa:  = - 1 Luego: K & E Design ® 2000  p= [X c 2  c 2 + (1 –X c ) 2  s 2 -2X c (1 – X c )  c  s ] 1/2  p = X c  c - (1 – X c )  s _ _ _  p = -X c  c + (1 – X c )  só será siempre menor con Cero Riesgo El valor de  p será siempre menor que cuando  = +1. Es mas, cuando  = -1, se puede encontrar una combinación con Cero Riesgo

Chile Escuela de Ingeniería Comercial No Correclación entre Activos:  = 0 El Retorno no varía, pero: K & E Design ® 2000  p = [X c 2  c 2 + (1 – X c ) 2  s 2 ] 1/2 Xc  s   c  s  cs _______________________  c  +  s  – 2  c  s  cs En esta situación hay un punto donde el riesgo es menor. Esto puede obtenerse de:  p = [X c 2  c 2 + (1 – X c ) 2  s 2 + 2X c (1-X c )  c  s  cs ] 1/2 Sacar la primera derivada e igualar a cero, (d  p /dX c =0) Igualando a cero:

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Proporciones Óptimas a Invertir a Invertir en una Cartera de 2 Activos K & E Design ® 2000  s = desv.C (desv.C – coef.correl.(c,s) * desv.S) varianza S + varianza C – 2Cov c,s Donde:  = Porcentaje a invertir en ACTIVO S (1 –  s ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C (1 –  s ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Covarianza Es una medida de cómo los retornos de los activos o títulos se mueven juntos. K & E Design ® 2000 N _ _ N _ _ Cálculo: Cálculo:  s,c =  (R sj – R s )(R cj – R c )*P j J=1 Donde: Rs = Retorno título S Rc = retorno título C Pj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos retornos.

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Varianza de una Cartera de N Activos En una cartera de N activos se tienen: K & E Design ® 2000 N 2 N-1 N N 2 N-1 N VAR( R ) = VAR( R ) =  j VAR j  j  i COV( ij ) J=1 j=1 I=1 j=/=i Donde:  y = Proporción de la inversión asignada al valor j  i = Proporción de la inversión asignada al valor i N = Número de valores de la cartera. N varianzas N (N – 1) Covarianzas

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Varianza de una Cartera de N Activos Si en una cartera de N títulos se invierte en cada título [1/N], la varianza de cartera. Queda expresada de la siguiente forma: K & E Design ® 2000 N N N N N N   (c) =   (c) =     j  ij ) J=1 j=1 I=1 j=/=i

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Varianza de una Cartera de N Activos K & E Design ® 2000 __ __ __ __   (c) =   (c) = [   j  ij ) Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término de la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, se llaga a lo siguiente:

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Varianza de una Cartera de N Activos K & E Design ® 2000 De la anterior fórmula se desprende que: 1.La contribución de la varianza de los activos individuales respecto a la varianza y la cartera tiende a cero en la medida que N sea grande. Riesgo de Mercado 2.Sin embargo, la contribución de las covarianzas se aproxima al promedio de las covarianzas cuando N aumenta. Esto implica que una parte del riesgo de la cartera (Riesgo de Mercado), no se puede eliminar a través de la diversificación.

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Cjto. de Oportunidades de Cartera y Cjto. Eficiente con Muchos Activos Riesgosos K & E Design ® 2000 Conjunto Eficiente EficienteCA O(R p ) E(R p )

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Cartera Óptima tangente Aquella que es tangente a la frontera eficiente con la más alta curva de iso – utilidad del inversionista K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Retorno Vapores -5,00 0,00 11,25 15,00 20,00 K & E Design ® 2000 Retorno Papeles-Cartones 0,00 5,00 8,75 10,00 15,00 Probabilidad 10% 20% 40% 20% 10% Ejemplo

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Cálculo de los Retornos Esperados de cada Título K & E Design ® 2000 E(R v ) = 9,0 E(R v ) = -5*0, ,25*0, *0, *0,10 E(R p-c ) = 8,0 E(R p-c ) = 5*0,20 + 8,75*0, *0, *0,10

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Cálculo del Riesgo de Cada Título  v = 7,5581 K & E Design ® 2000  (p-c) = 3,7583 Vapores y Papeles – Cartones ¿Los títulos de Vapores y Papeles – Cartones inversiones eficientes son inversiones eficientes para formar una cartera?. E(R v ) > E(R p-c )  (R v ) >  (R p-c ) Si puesto que: E(R v ) > E(R p-c )  (R v ) >  (R p-c ) Coeficiente de CorrelaciónVapores y Papeles-Cartones El Coeficiente de Correlación entre los títulos Vapores y Papeles-Cartones, es de –0,5

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Vapores 10 millones 8 millones 5 millones 3 millones 1 millón 0 millón K & E Design ® 2000 Papeles-Cartones 0 millón 2 millones 5 millones 7 millones 9 millones 10 millones Ejercicio Calcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera, si se invierte:

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Retorno Cartera a.R c = 100%*9 + 0%*8 b.R c = 9 c.R c = 8,8 d.R c = 8,5 e.R c = 8,3 f.R c = 8,1 g.R c = 8,0 K & E Design ® 2000Ejercicio Riesgo Cartera a.  c = 7,5581 b.  c = 5,7079 c.  c = 3,2728 d.  c = 2,4693 e.  c = 3,0751 f.  c = 3,7583

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Ejercicio ¿ Cuáles son las proporciones óptimas a invertir en cada título para que el Riesgo de la cartera sea mínimo? En Vapores se debe invertir 28,43% y en Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto. Luego: E (Rc) = 8,2843  (c) = 2,4637 K & E Design ® 2000

Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital (C.A.P.M.) Chile Escuela de Ingeniería Comercial K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial C.A.P.M. 1.Supuestos: Mercado perfecto o eficiente. 2.Presencia del Activo de Cero Riesgo. Combinar cualquier cartera de la frontera eficiente formada con activos riesgosos, con un activo sin riesgo. Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de activos riesgosos (RM)* son independientes. Luego covarianza entre ellos es igual a cero. * RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía. K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial C.A.P.M. a. Retorno Cartera = E(Rp)= (1-x)RF + x E(RM). b. Riesgo Cartera =  2 Rp = [x 2  2 ] E(RM). b Despejando x de b, se tiene: X=  (Rp) S (RM) “Línea de Mercado de Capitales”. Reemplazando la x calculada en el punto anterior, en E(Rp), se tiene la “Línea de Mercado de Capitales”. K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Ecuación Línea de Mercado de Capitales L.M.C. K & E Design ® 2000 E(R M ) - R F E(R p ) = R F  (R p )  (R M ) Donde: E(R p ) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la CML, es decir, combinaciones de RF y de RM. R F = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de crédito. R F = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de crédito. E(R M ) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M. E(R M ) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M.   (R M ) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de mercado.   (R p ) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.

Chile Escuela de Ingeniería Comercial L.M.C. Y Frontera Eficiente K & E Design ® 2000 E(R p ) o(R p ) OMOMOMOM RFRFRFRF E(R M ) L.M.C. J M FRONTERA EFICIENTE Pendiente= E(R M ) – R F = O M Precio de Equilibrio del Riesgo

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Retorno Esperado de un Título Individual se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente con la pendiente de la L.M.C. El C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de cualquier activo individual se obtiene en el punto donde se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente con la pendiente de la L.M.C. K & E Design ® 2000 Pendiente L.M.C. = d E(R p ) = E(R M ) – R F d  (R p ) =  (R M ) d  (R p ) =  (R M )

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Pendiente de la Frontera Eficiente La pendiente de la Frontera Eficiente se determina de la siguiente manera: a.Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos: R i = retorno de activo i. R M = Cartera de mercado. b. E(R p ) = x * E(R i ) + (1-x) E(R M ).  2 (R p ) = x 2 *  2 (R i ) + (1-x) 2 *  2 (R M ) + 2x(1-x) cov (R i,R M ) x= Porcentaje a Invertir en R i. (1-x)= Porcentaje a Invertir en R M. K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Pendiente de la Frontera Eficiente c.Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por la derivada implícita. dE(Rp) dE(Rp) dE(R p ) = dx = [E(R i ) – E (R M )] *  (R M ) d  (R p ) = d  (R p ) cov (R i,R M ) –  2 (R M ) dx K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Pendiente de la Frontera Eficiente Al igualar ambas pendientes: [E(R i ) – E(R M )]  (R M ) = E(R M ) –R F Cov (R i,R M ) –  2(R M )  (R M ) Y despejando E(R i ), se obtiene: K & E Design ® 2000 E(R i ) = R F + E(R M ) – R F * cov (R i, R M )  2 (R M )  2 (R M ) La anterior ecuación, indica que existe una relación lineal entre retorno esperado de un activo individual y su covarianza con el mercado.

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Ecuación Línea de Mercado de Valores L.M.V. K & E Design ® 2000 E(R i ) = R F +[ E(R M ) – R F ]  i Donde: E(R i ) = Rendimiento esperado o ex ante sobre l a i-ésima acción. R F = Tasa de rendimiento sobre un activo libre de riesgo. (R M) = Rendimiento esperado o ex ante sobre la cartera de mercado.   i = Medida de riesgo sistemático de la i-ésima acción, tal que:  i = cov (R i,R M )   i = cov (R i,R M )   2 (R M )

Chile Escuela de Ingeniería Comercial E(R i ) E(R i )Porcentaje iiii 0 Recta del Mercado de Valores K & E Design ® 2000  M =1.0 R F =5 E(R M )= 11 L.M.V Pendiente= E(R M ) – R F ) = 11-5 = 6% M  M – 0 1-0

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Comparación entre la L.M.C. y la L.M.V. K & E Design ® 2000 E(R p ) o(R p ) OMOM RFRF E(R M ) L.M.C. M E(R j ) jj AA RFRF E(R A ) L.M.V. M E(R M )  M =1 a. Recta del Mercado de Capitales b. Recta del Mercado de Valores

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Riesgo Sistemático o Beta Beta de un activo i, Beta de un activo i, es la medida de volatilidad de los retornos de este, en relación con los retornos de la cartera. Por lo tanto: K & E Design ® 2000 E(R i ) = R F +  i [ E(R M ) – R F ] Donde i = cov (R i,R M ) M Donde  i = cov (R i,R M )  2 (R M )

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Riesgo sistemático o Beta Retorno Esperado es igual a la tasa de Cero Riesgo R F, un premio por el riesgo Luego el Retorno Esperado de cualquier activo, es igual a la tasa de Cero Riesgo R F, más un premio por el riesgo, que esta dado por el diferencial entre retorno esperado de la cartera menos la tasa de cero riesgo, multiplicado por el Riesgo Sistemático o Beta K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Aplicación Empírica del C.A.P.M. (R it – R Ft ) =  i  i (R Mt – R Ft ) + e it Donde: R it = Retorno de la acción i, en el período t. R Ft = tasa libre de riesgo, en el período t. Línea Característica  i = Intersección de la Línea Característica con el eje vertical. Línea Característica.  i = pendiente de la Línea Característica. e it = Error aleatorio, independiente del comportamiento del mercado. K & E Design ® 2000

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Línea Característica K & E Design ® 2000  Exceso rendimiento Mercado Exceso rendimiento Empresa A  = 0

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Modelo de Precios de Activos de Capital K & E Design ® 2000   Retorno en Exceso del Mercado Retorno en Exceso de la Acción Riesgo No Sistemático  debería ser = 0 Entonces R j – R F =  + (R M – R F ) 

Chile Escuela de Ingeniería Comercial Ajuste de  por Levarage Modelo de Hamada Dados: R F = Tasa libre de riesgo. R M = Retorno promedio del mercado.  u = En ausencia de Leverage. D/P= Deuda / patrimonio. T= Tasa de Impuestos. R= Tasa Pura + Riesgo Negocio * Riesgo Financiero = R F + (R M – R F ) *  u * [ 1 + (D/P) * (1 – T)] O sea:  =  u * [ 1 + (D/P) * (1 – T)] Y :  u =  / [ 1+ (D/P) * (1 – T)] K & E Design ® 2000