Representaciones de conjuntos y funciones Roberto Moriyón

Determinación de conjuntos Las fórmulas lógicas de la Aritmética con una variable libre determinan conjuntos de números naturales Ejemplos: –La fórmula  y,x=y+y determina al conjunto de los números pares. –La fórmula  y,  z,  u,  v, ~y=0 ^ ~z=0 ^ ~u=0 ^~v=0  ~x=(y+z).(u+v) determina al conjunto de los números primos.

Determinación de conjuntos, II Para ver que el número 2 es par basta con demostrar que al sustituir x por SS0 en la penúltima fórmula se obtiene una fórmula que es cierta en la interpretación estándar de la Aritmética:  y,SS0=y+y La forma habitual de demostrar que una fórmula es cierta en la interpretación estándar es mediante una deducción Este procedimiento no es válido si la fórmula es cierta en unas interpretaciones y falsa en otras.

Determinación de conjuntos, III Las fórmulas lógicas de la Semiótica con una variable libre determinan lenguajes. –Por ejemplo, la fórmula  y,  z, ~x = y + S [ z ^ ~x = y + S ] z determina las cadenas de caracteres que no contienen corchetes. Para ver que la cadena “aba” no contiene corchetes basta con demostrar que  y,  z, ~“aba” = y + S [ z ^ ~“aba” = y + S ] z es cierta en la interpretación estándar.

Determinación de conjuntos, IV La fórmula  y, x=“a”+y+“b” determina a las cadenas que empiezan por a y terminan por b. Para ver que la cadena “aba” no pertenece al lenguaje anterior vasta con demostrar que  y, ~x=“a”+y+“b” es cierta en la interpretación estándar de la semiótica.

Determinación de conjuntos, V Todo lo anterior es válido también para fórmulas con n variables libres, que definen conjuntos de n-plas de números o cadenas. Por ejemplo, la fórmula x+y=SSSS0 determina al conjunto de pares de números A = {(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)}   X . Ello se debe a que para cualesquiera términos T y U cerrados, o bien T+U=SSSS0 es un teorema o lo es su negación.

Determinación de funciones Las fórmulas lógicas de la Aritmética con dos variables libres pueden determinar funciones numéricas Ejemplos: –La fórmula x+y=SSSS0 determina a la función f(x)=4-x, con dominio {0,1,2,3,4}. –La fórmula y=SSSx determina a la función f(x)=x+3, con dominio . –La fórmula y=0 v y=S0 no determina ninguna función.

Determinación de funciones, II En general, las fórmulas de la Aritmética con m+n variables libres pueden determinar funciones de  n en  m. Ello ocurre cuando determinan el grafo de una función. Por ejemplo, la fórmula u=x+y+z determina a la función f(x,y,z)=x+y+z.

Determinación de funciones, III La determinación de funciones descrita en las transparencias anteriores se extiende a la Semiótica, en la que las fórmulas con m+n variables libres pueden determinar funciones de  * n en  * m.

Determinación de funciones, IV No es obvio cómo determinar funciones como h(x,y)=x y, cuyo cálculo requiere la ejecución de bucles, mediante fórmulas (la función exponencial no es parte del lenguaje de la teoría lógica de la Aritmética).

Ejemplo de determinación de función exponencial La función f:  *  * definida por se determina mediante una fórmula de la teoría lógica de la Semiótica. Demostración: aunque no disponemos de bucles, construiremos en primer lugar una fórmula que caracteriza al conjunto C de cadenas de la forma “;:a;  0 :aa;  1  0 :aaaa;  2  1  0 :aaaaaaaa;…;” que son la concatenación de subcadenas de la forma ;S j :a k ; con S j+1 =  j S j y k=2 j.

Ejemplo de determinación de función exponencial, II ;:a;  0 :aa;  1  0 :aaaa;  2  1  0 :aaaaaaaa;…; Su descripción es la siguiente: Son las cadenas que: –Comienzan por ;:a; y teminan por ; –Cada subcadena (item) que separa dos ; consecutivos contiene : (solamente uno). –Cada dos items consecutivos de la forma S j :A j verifican que S j+1 =  j S j y A j+1 =A j A j.

Ejemplo de determinación de función exponencial, III ;0:a;  0 0:aa;  1  0 0:aaaa;  2  1  0 0:aaaaaaaa;…; La descripción en el lenguaje lógico es: (  t,r=”;0:a;”+t+”;”)^ (  g,  h,  k,(r=g+”;”+h+”;”+k^~  s,  p,(h=p+”;”+s))  (  m,  n,h=m+”:”+n^(~  t,  c,(m=t+”:”+c))^ ~  d,  e,(n=d+”:”+e)))^ (  u,  v,  y,  z,  w,  h, ((r=u+”;”+v+”:”+y+”;”+z+”:”+w+”;”+h)^ (~  q,  p, (v=p+”;”+q) v (y=p+”;”+q) v (z=p+”;”+q) v (w=p+”;”+q)))  ((z=“a”+v v z=“b”+v)^w=y+y)))

Ejemplo de determinación de función exponencial, IV Si llamamos G a la fórmula anterior, cuya única variable libre es r, la fórmula F que buscamos que determina a la función y=f(x) es  r,  u,(r=u+”;”+x+”:”+y+”;”^G) Para demostrar rigurosamente que la fórmula F anterior determina a la función y=f(x) hay que ver que dados dos términos S y T sin variables, F S/x,T/y es un teorema si T I =f(S I ) y su negación es un teorema en caso contrario.

Ejemplo de determinación de función exponencial, V Por ejemplo, hay que demostrar que F ”a”/x,”aa”/y y ~F ”a”/x,”a”/y son teoremas. Para lo primero basta con demostrar que G “;:a;a:aa;”/r es un teorema, lo que es tedioso pero sencillo. Para lo segundo basta con demostrar que F^F v/y  v=y es un teorema, lo cual se reduce a demostrar que r=s  r+r=s+s es un teorema.

Determinación de funciones recursivas primitivas Se hace análogamente a la función exponencial anterior. Por ejemplo, se puede utilizar el mismo procedimiento para determinar la función de Fibonacci sobre cadenas de caracteres sobre el alfabeto {a}.

Determinación de funciones recursivas totales Una función recursiva total f se puede calcular mediante una máquina de Turing determinista que siempre se para. La función  que calcula el cambio de estado operacional de la máquina de Turing al ejecutarse una transición es una función básica.

Determinación de funciones recursivas totales, II La función f se puede determinar utilizando cadenas auxiliares de la forma “e 0 w;” +  (“e 0 w”) + ”;” +  (  (“e 0 w”)) + + ”;” + … + “:” +  j-1) (“e 0 w”) + ”;” +  j) (“e 0 w”)

Fundamentación teórica: Representación Decimos que una fórmula F de la Aritmética con una variable libre representa a un conjunto de números naturales X cuando para cualquier término cerrado T, F T es un teorema si y solo sí la interpretación estándar de T pertenece a X y ~F T es un teorema si y solo sí la interpretación estándar de T no pertenece a X.

Fundamentación teórica: Representación, II Todos los ejemplos que hemos visto de determinación de conjuntos son representaciones de conjuntos. En la práctica para demostrar que una fórmula determina a un conjunto hay que ver que lo representa. Lo anterior se extiende a la representación de conjuntos de tuplas de números o de cadenas de caracteres y de funciones.

Recordatorio: conjuntos computables Recordatorio: Un conjunto es computable si hay una máquina de Turing que lo reconoce y otra que reconoce a su complementario. Un conjunto es computable si hay una máquina de Turing determinista que siempre se para que lo reconoce. Los conjuntos computables son la imagen inversa de un valor determinado mediante una función recursiva total.

Teorema de representación para la Semiótica Una fórmula de la Teoría Lógica de la Semiótica representa a un conjunto C  * n, si y sólo si C es computable.

Demostración del Teorema de Representación para la Aritmética La primera demostración del Teorema de Representación la dio Gödel para la Aritmética. Lo hizo para poder demostrar su Teorema de Incompletitud.

Demostración del Teorema de Representación de la Aritmética, II Se puede demostrar análogamente al caso de la Semiótica, demostrando para ello que se pueden representar listas de números mediante otros números (al igual que se pueden representar listas de cadenas mediante cadenas utilizando separadores).

Numeración de Gödel Para representar listas de números mediante números, Gödel utiliza el siguiente procedimiento: La lista {n 1, n 2, …, n N } se representa mediante el número p 1 n 1  p 2 n 2  …  p N n N donde p 1, p 2, … son los primeros números primos sucesivos, 2, 3, 5, 7, …

Teorema de representación de funciones Si una fórmula de la Teoría Lógica de la Semiótica representa a una función f:  * n  * m, entonces f es recursiva. Si f:  * n  * m es una función recursiva total, entonces hay una fórmula de la Teoría Lógica de la Semiótica que la representa.

Teorema de representación de funciones, II El teorema también es cierto en su versión numérica. Ambas versiones del teorema se demuestran reduciéndolas al caso correspondiente de conjuntos. La demostración se deja como ejercicio.

Teorema de representación de funciones, II Hay funciones recursivas que no son totales pero son representables mediante fórmulas de la Teoría Lógica de la Semiótica. Como ejemplo se puede considerar la función que a cada codificación de una máquina de Turing concatenada con una palabra le hace corresponder el número de pasos que da la máquina a partir de la palabra antes de pararse.

Teorema de representación: Consecuencias Ejemplo de función que se puede representar en la Lógica de la Semiótica:  :  * 2  *  (T, F) = sustitución de T en las variables libres de F Lo anterior es consecuencia de que  es una función recursiva y total. De hecho, es recursiva primitiva.

Teorema de representación: Consecuencias, II Otro ejemplo: Dado un conjunto recursivo A de axiomas,  A :  *  *  A (d) = conclusión de la demostración d (o 0 si d no es una demostración).  A depende del conjunto de axiomas A que se admita.  A también es una función recursiva primitiva.

Teorema de representación: Consecuencias, III Tercer ejemplo:  A :  *  *  A (F) = F si F es un teorema en la teoría definida por el conjunto A de axiomas (o 0 si ~F es un teorema en dicha teoría). Como consecuencia del Teorema de Incompletitud de Gödel, si A es el conjunto de los axiomas de Peano,  A no es una función total.

Teorema de representación: Consecuencias, IV  A (F)= F si existe una demostración de F. Por lo tanto, si la fórmula lógica F representa a la función g=  A (d), entonces la fórmula (  d,F^f=g) v (  d,F ~g/g ^f=0) representa a f=  A (g).

Teorema de representación: Consecuencias, V La numeración de Gödel permite construir representaciones para las funciones análogas a las anteriores en la Aritmética: Hay una fórmula de la Lógica de la Aritmética, , con dos variables (numéricas) libres, que representa cuándo la demostración representada por el número d demuestra la fórmula lógica representada por el número f.

Teorema de representación: Consecuencias, VI Hay una fórmula de la Lógica de la Aritmética, , con tres variables (numéricas) libres, que representa cuándo al sustituir en la fórmula lógica representada por el número f su variable libre por el término representado por el número t se obtiene la fórmula lógica representada por el número h.

Teorema de representación: Consecuencias, VII Hay una fórmula de la Lógica de la Aritmética, , con una variable (numérica) libre, que representa cuándo existe una demostración de la fórmula lógica representada por el número f.