Capítulo 8C – Conservación de energía Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007

Una cascada en el Parque Yellowstone proporciona un ejemplo de energía en la naturaleza. La energía potencial del agua en la cima se convierte en energía cinética en el fondo.

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Definir y dar ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas. Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánica para fuerzas conservativas. Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánica que explique las pérdidas por fricción.

Si se libera, la Tierra puede realizar trabajo sobre la masa: Energía potencial La energía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición. Ejemplo: Una masa que se mantiene a una distancia h sobre la Tierra. Tierra mg h m Si se libera, la Tierra puede realizar trabajo sobre la masa: Trabajo = mgh ¿Este trabajo es + o - ? ¡Positivo!

Energía potencial gravitacional La energía potencial gravitacional U es igual al trabajo que se puede realizar POR la gravedad debido a la altura sobre un punto específico. U = mgh E.P. gravitacional Ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial cuando un bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle? U = mgh = (10 kg)(9.8 m/s2)(20 m) U = 1960 J

El origen de la energía potencial La energía potencial es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el otro. mg h F El trabajo realizado por la fuerza de elevación F proporciona energía potencial positiva, mgh, al sistema Tierra-cuerpo. Sólo fuerzas externas pueden agregar o quitar energía.

Fuerzas conservativas Una fuerza conservativa es aquella que hace trabajo cero durante un viaje redondo. El peso es conservativo. mg h F El trabajo realizado por la Tierra en el viaje hacia arriba es negativo, - mgh El trabajo de regreso es positivo, +mgh Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

La fuerza de resorte F x m La fuerza ejercida por un resorte también es conservativa. Cuando se estira, el resorte realiza trabajo negativo, - ½kx2. F x m Al liberarse, el resorte realiza trabajo positivo, + ½kx2 Trabajo neto = 0 (conservativa)

Independencia de la trayectoria El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria. A C B C A B Fuerza debida a la gravedad mg Porque sólo el componente vertical del peso realiza trabajo contra la gravedad. Trabajo (A C) = Trabajo (A B C) ¿Por qué?

Fuerzas no conservativas El trabajo realizado por fuerzas no conservativas no se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria! B A f f m A B Las fuerzas de fricción son fuerzas no conservativas.

El trabajo de las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria: Para fuerza gravitacional: (Trabajo)AB= -(Trabajo)BCA Trabajo neto cero Para fuerza de fricción: (Trabajo)AB ¹ -(Trabajo)BCA El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más larga (BCD).

Energía potencial almacenada El trabajo realizado por una fuerza conservativa se almacena en el sistema como energía potencial. m xo x La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte: F(x) = kx para comprimir El desplazamiento es x Energía potencial de resorte comprimido:

Conservación de energía (Fuerzas conservativas) En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema. v = 0 h En lo alto: Uo = mgh; Ko = 0 mg v y En y: Uo = mgy; Ko = ½mv2 En y=0: Uo = 0; Ko = ½mvf 2 vf E = U + K = Constante

Energía total constante para un cuerpo que cae K = 0 h ARRIBA: E = U + K = mgh v y En cualquier y: E = mgh + ½mv2 Fondo: E = ½mv2 mgh = mgy + ½mv2 = ½mvf2 U = 0 vf La E total es la misma en cualquier punto. (Desprecie la fricción del aire)

Earriba total = E total a 5 m Ejemplo 1: Una bola de 2 kg se libera desde una altura de 20 m. ¿Cuál es su velocidad cuando su altura disminuye a 5 m? v = 0 20m Earriba total = E total a 5 m mgh = mgy + ½mv2 v 5m 2gh = 2gy + v2 v2 = 2g(h - y) = 2(9.8)(20 - 5) v = 17.1 m/s v = (2)(9.8)(15)

Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de una altura máxima de 100 ft Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de una altura máxima de 100 ft. ¿Cuál es la rapidez cuando llega a su punto más bajo? Suponga fricción cero: Arriba: U + K = mgh + 0 Abajo: U + K = 0 + ½mv2 La energía total se conserva mgh = ½mv2 v = 2gh v = 80 ft/s v = (2)(32 ft/s2)(100 ft)

Conservación de energía en ausencia de fuerzas de fricción La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte. Comienzo: (U + K)o = Fin: (U + K)f mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad?

ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? Sí (35 m) mgho Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada. Suponga y = 0 en el fondo para punto de referencia. ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? Sí (35 m) mgho ½kxo2 ½mvo2 No Sí (vo)

Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada: Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada: ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? No (0 m) mghf ½kxf2 ½mvf2 No Sí (vf)

¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Energía total arriba = Energía total abajo vo = 3.86 m/s

E(arriba) = E(abajo) Earriba = mgh + ½mv2 Eabajo = 0 + ½mvo2 Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad inicial 10 m/s sube hasta una altura neta de 4 m. ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción? 4 m vf = ? vo = 10 m/s E(arriba) = E(abajo) Earriba = mgh + ½mv2 Eabajo = 0 + ½mvo2 vf = 4.65 m/s

Conservación de energía: Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm. Fin mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 s h 30o Inicio Conservación de energía: ½kxo2 = mghf h = 0.327 m

Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm. s h 30o Inicio Fin Continúa: h = 0.327 m = 32.7 cm sen 30o = h s s = = h sen 30o 32.7 cm s = 65.3 cm

Conservación de energía y fuerzas no conservativas. Se deben explicar las fuerzas de fricción. La energía todavía se conserva, pero no es reversible. f Conservación de energía mecánica (U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

Estrategias para resolución de problemas 1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo. 2. Determine los puntos de referencia para energía potencial gravitacional y/o resorte. 3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y plantee tres preguntas en cada punto: a. ¿Hay altura? U = mgh b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2 c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2

Resolución de problemas (continuación) 4. Aplique la regla para conservación de energía. mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 + Trabajo contra fricción: fk x 5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

2. Comience en A y termine en B. Ejemplo 6: Una masa m se conecta a una cuerda de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = 12 m, L = 20 m) A 1. Dibuje y etiquete. B L vc r d 2. Comience en A y termine en B. 3. Referencia U = 0. (U + K)o =(U + K)f + pérdida U = 0 mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc2 (Multiplique por 2, simplifique) 2gL - 4gr = vc2 Luego encuentre r de la figura.

A 2gL - 4gr = vc2 L vc B d r = L - d r = 20 m - 12 m = 8 m r Ejemplo (Cont.): Una masa m se conecta a una cuerda de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = 12 m, L = 20 m) B L vc r d U = 0 A 2gL - 4gr = vc2 r = L - d r = 20 m - 12 m = 8 m vc2 =2gL - 4gr = 2g(L - 2r) vc2 = 2(9.8 m/s2)[20 m - (2)(8 m)] vc = 8.85 m/s vc = 2(9.8 m/s2)(4 m)

(trabajo)f = (mkn) x = mk(mg cos 30o) x Ejemplo 7: Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? h 2 kg s 30o mg f n mg sen 30o mg cos 30o 30o Inicio Fin Conservación: mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx (trabajo)f = (mkn) x = mk(mg cos 30o) x continúa . . .

fkx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante del resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? h 2 kg x 30o 10 m mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx x = = 20 m 10 m sin 30o fkx = mk(mg cos 30o) x fkx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J mgh = (2 kg)(9.8 m/s2)(10 m) = 196 J ½kx2 = ½(40,000 N/m)(0.06 m)2 = 72.0 J

Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? h 2 kg x 30o 10 m mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx fkx = 136 J mgh = 196 J ½kx2 = 72.0 J ½mv2 = mgh + ½kx2 - fkx ½(2 kg) v2 = 196 J + 72 J - 136 J = 132 J v =11.4 m/s

Resumen: Ganancias o pérdidas de energía Energía potencial gravitacional U = mgh Energía potencial de resorte Energía cinética Fricción contra trabajo Trabajo = fx

Resumen: Conservación de energía Regla básica para conservación de energía: mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 + Trabajo contra fricción: fk x Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

CONCLUSIÓN: Capítulo 8C Conservación de energía