Capítulo 3B - Vectores Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007

Vectores Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones.

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. Determinar los componentes de un vector dado. Encontrar la resultante de dos o más vectores.

Expectativas Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Convierta 40 m/s en kilómetros por hora. 40--- x ---------- x -------- = 144 km/h m s 1 km 1000 m 3600 s 1 h

Expectativas (cont.): Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples. Ejemplo: Resuelva para vo

Expectativas (cont.) Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Evalúe lo siguiente: (6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2) (8.77 x 10-3)2 F = -------- = ------------ Gmm’ r2 F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN

Expectativas (cont.) Debe estar familiarizado con prefijos del SI metro (m) 1 m = 1 x 100 m 1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m 1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m 1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m

Expectativas (cont.) sen y R q = Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. sen y R q = y x R q y = R sen q x = R cos q R2 = x2 + y2

Repaso de matemáticas Si siente necesidad de pulir sus habilidades matemáticas, intente el tutorial del Capítulo 2 acerca de matemáticas. La trigonometría se revisa junto con los vectores en este módulo. Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning Center en Tippens-Student Edition

La física es la ciencia de la medición Peso Tiempo Longitud Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

Distancia: cantidad escalar Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. A B Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal) s = 20 m

Desplazamiento-Cantidad vectorial Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. Una cantidad vectorial: Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N) A B D = 12 m, 20o q

Distancia y desplazamiento Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. Desplazamiento neto: D 4 m, E D = 2 m, W ¿Cuál es la distancia recorrida? 6 m, W x = -2 x = +4 ¡¡ 10 m !!

Identificación de dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.) E W S N Longitud = 40 m 40 m, 50o N del E 60o 50o 40 m, 60o N del W 60o 60o 40 m, 60o W del S 40 m, 60o S del E

Identificación de dirección Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. E W N 50o S E W S N 45o 500 S del E 450 W del N Clic para ver las respuestas...

Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares (R, q) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E. 0o 180o 270o 90o q 0o 180o 270o 90o R 40 m 50o R es la magnitud y q la dirección.

Vectores y coordenadas polares Se dan coordenadas polares (R, q) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 0o 180o 270o 90o (R, q) = 40 m, 50o 120o 60o 210o 50o (R, q) = 40 m, 120o 3000 60o 60o (R, q) = 40 m, 210o (R, q) = 40 m, 300o

Coordenadas rectangulares x y (+3, +2) (-2, +3) (+4, -3) (-1, -3) La referencia se hace a los ejes x y y, y los números + y – indican posición en el espacio. + + - - Derecha, arriba = (+, +) Izquierda, abajo = (-, -) (x, y) = (?, ?)

Repaso de trigonometría Aplicación de trigonometría a vectores sen y R q = Trigonometría y = R sen q y x R q x = R cos q R2 = x2 + y2

Ejemplo 1: Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30o. 90 m 300 La altura h es opuesta a 300 y el lado adyacente conocido es de 90 m. h h = (90 m) tan 30o h = 57.7 m

Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, q). x = R cos q y = R sen q x y R q Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular

Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? x = ? y = ? 400 m 30o E N x y R q N E El componente x (E) es ADY: x = R cos q El componente y (N) es OP: y = R sen q

Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = ? y = ? 400 m 30o E N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300 ADY = HIP x cos 300 x = R cos q El componente x es: Rx = +346 m x = (400 m) cos 30o = +346 m, E

Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 300 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = ? y = ? 400 m 30o E N Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 300 OP = HIP x sen 300 y = R sen q El componente y es: Ry = +200 m y = (400 m) sen 30o = + 200 m, N

Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? Rx = +346 m Ry = +200 m 400 m 30o E N Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

Signos para coordenadas rectangulares Primer cuadrante: R es positivo (+) 0o > q < 90o x = +; y = + R + q 0o + x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares Segundo cuadrante: R es positivo (+) 90o > q < 180o x = - ; y = + R + q 180o x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180o > q < 270o x = - y = - q 180o - x = R cos q y = R sen q R 270o

Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) 270o > q < 360o x = + y = - q + 360o R x = R cos q y = R sen q 270o

Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R y q x R siempre es positivo; q es desde el eje +x

Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda: Ej: 1 cm = 10 lb 30 lb 40 lb 40 lb 30 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo! 4 cm = 40 lb 3 cm = 30 lb

Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) Rx 40 lb 30 lb f q 40 lb 30 lb Ry R R = (40)2 + (30)2 = 50 lb R = x2 + y2 tan f = -30 40 q = 323.1o f = -36.9o

Cuatro cuadrantes (cont.) f 40 lb 30 lb R q Ry Rx 40 lb 30 lb R q Ry Rx R = 50 lb 40 lb 30 lb R f q Ry Rx 40 lb 30 lb R f q Ry Rx f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

Notación vector unitario (i, j, k) x z y Considere ejes 3D (x, y, z) j Defina vectores unitarios i, j, k i k Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R, q. En notación i, j se tiene: +40 m R f R = Rx i + Ry j Rx = - 30 m Ry = + 40 m -30 m R = -30 i + 40 j El desplazamiento es 30 m oeste y 40 m norte de la posición de partida.

Ejemplo 4 (cont.): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R, q. f q = 1800 – 59.10 q = 126.9o R = 50 m (R, q) = (50 m, 126.9o)

Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades. B 46 km R = -46 i – 35 j 35 km R = ? f=? R = 57.8 km A q = 232.70 q = 1800 + 52.70 f = 52.70 S de W.

Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo. 280 F = 240 N F Fy Fx Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N O en notación i, j : F = -(212 N)i + (113 N)j Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N

Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 320. 320 F = 300 N F Fy Fx 32o 32o O en notación i, j : F = -(254 N)i - (159 N)j Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N

Método de componentes 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j. 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, q).

Ejemplo 9. Un bote se mueve 2. 0 km al este, luego 4 Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este, luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 2 km, S D E N 4 km, N B 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 3 km, O C 2 km, E A 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.

Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el desplazamiento resultante. 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D 3. Escriba cada vector en notación i, j: A = +2 i B = + 4 j C = -3 i D = - 2 j 4. Sume algebraicamente los vectores A, B, C, D para obtener la resultante en notación i, j. R = -1 i + 2 j 1 km al oeste y 2 km al norte del origen. 5. Convierta a notación R, q Vea página siguiente.

Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento resultante. 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D La suma resultante es: R = -1 i + 2 j Ahora encuentre R,  R = 2.24 km Ry = +2 km Rx = -1 km R f  = 63.40 N del O

Recordatorio de unidades significativas: 2 km A 4 km B 3 km C D Por conveniencia, siga la práctica de suponer tres (3) cifras significativas para todos los datos en los problemas. En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: R = 2.24 km, 63.40 N del O

Dígitos significativos para ángulos Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. 40 lb 30 lb R f q Ry Rx Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes: q = 36.9o; 323.1o

Ejemplo 10: Encontrar R, q para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: B = 2.1 m, 200 C = 0.5 m, 900 C = 0.5 m R q B = 2.1 m 200 B A = 5 m 1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. (R, q) 3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)

Ejemplo 10: Encuentre R, q para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.) A = 5 m B = 2.1 m 200 B C = 0.5 m R q Para notación i, j, encuentre los componentes x, y de cada vector A, B, C. Vector f componente x (i) componente y (j) A = 5 m 00 + 5 m B = 2.1 m 200 +(2.1 m) cos 200 +(2.1 m) sen 200 C = 0.5 m 900 + 0.5 m Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy

Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900. componente x (i) componente y (j) Ax = + 5.00 m Ay = 0 Bx = +1.97 m By = +0.718 m Cx = 0 Cy = + 0.50 m 6.97 i + 1.22 j A = 5.00 i + 0 j B = 1.97 i + 0.718 j C = 0 i + 0.50 j 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j. R =

Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900. Rx= 6.97 m R q Ry 1.22 m Diagrama para encontrar R, q: R = 6.97 i + 1.22 j 5. Determine R, q a partir de x, y: R = 7.08 m q = 9.930 N del E

C = 30 m B = 40 m R q 60o f A = 20 m, E R = (32.6 m, 143.0o) Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente? C = 30 m Gráficamente, se usa regla y transportador para dibujar los componentes, luego se mide la resultante R, q B = 40 m 30o R q 60o f A = 20 m, E R = (32.6 m, 143.0o) Sea 1 cm = 10 m

A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: q Nota: Rx = Ax + Bx + Cx Cy By B Ry = Ay + By + Cy C Ry A Rx Ax Cx Bx

Escriba cada vector en notación i, j. Ejemplo 11 (cont.) Use el método de componentes para encontrar la resultante. 60 30o R f q Ax B Bx Rx A C Cx Ry By Cy Escriba cada vector en notación i, j. Ax = 20 m, Ay = 0 A = 20 i Bx = -40 cos 60o = -20 m By = 40 sen 60o = +34.6 m B = -20 i + 34.6 j Cx = -30 cos 30o = -26 m C = -26 i - 15 j Cy = -30 sen 60o = -15 m

Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes Sume algebraicamente: 60 30o R f q Ax B Bx Rx A C Cx Ry By Cy A = 20 i B = -20 i + 34.6 j C = -26 i - 15 j R = -26 i + 19.6 j R = (-26)2 + (19.6)2 = 32.6 m R -26 +19.6 f tan f = 19.6 -26 q = 143o

Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante. R = -26 i + 19.6 j 60 30o R f q Ax B Bx Rx A C Cx Ry By Cy R -26 +19.6 f El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona mejor mediante sus coordenadas polares R y q. R = 32.6 m; q = 1430

Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación. Cx A = 5 m, 900 B = 12 m, 00 C = 20 m, -350 A C 350 Cy R q Ax = 0; Ay = +5 m 28.4 i - 6.47 j A = 0 i + 5.00 j B = 12 i + 0 j C = 16.4 i – 11.5 j Bx = +12 m; By = 0 Cx = (20 m) cos 350 Cy = -(20 m) sen -350 R =

Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C 350 R q Rx = 28.4 m R q Ry = -6.47 m R = 29.1 m q = 12.80 S del E

Considere primero A + B gráficamente: Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Considere primero A + B gráficamente: R = A + B B A R B A

Diferencia vectorial B A A -B A R’ -B Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A A -B A R’ -B

Comparación de suma y resta de B La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B| Comparación de suma y resta de B B A R = A + B R’ = A - B A R B R’ -B A

Ejemplo 13. Dados A = 2. 4 km N y B = 7 Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8 km N: encuentre A – B y B – A. A 2.43 N B 7.74 N A – B; B - A A - B B - A +B +A -A -B R R (2.43 N – 7.74 S) (7.74 N – 2.43 S) 5.31 km, S 5.31 km, N

Resumen para vectores Componentes de R: R Rx = R cos q Ry = R sen q q Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal) Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300) Rx Ry R q Componentes de R: Rx = R cos q Ry = R sen q

Continúa resumen: R q Resultante de vectores: Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (R, q) a rectangulares (Rx, Ry). Resultante de vectores: Rx Ry R q

Método de componentes para vectores Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry). Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, q).

Diferencia vectorial B A A -B A R’ -B Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A A -B A R’ -B

Conclusión del Capítulo 3B - Vectores