SISTEMAS DE ECUACIONES MÉTODOS: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN Quini Carrera Dpto. de Matemáticas IES Prof. Juan Bautista El Viso del Alcor

RECUERDA Ya sabemos: - lo que son ecuaciones (igualdad entre dos expresiones algebraicas; en estas hay algún/as cantidades desconocidas, que se representan con letras), - que existen distintas clases según el número de incógnitas a descubrir y el grado (así tenemos ecuaciones de una incógnita y de primer grado, de una incógnita y de 2º grado, de dos incógnitas y de primer grado… ), y - resolver las que son de una incógnita de primer grado.

IMAGÍNATE Ana y Víctor necesitan un material para hacer un trabajo que les han mandado en el instituto. Han quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda. Ana compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por 2´90 €. Víctor se llevó 8 cartulinas y una barra de pegamento por un total de 3´10 €. Pero no preguntaron por el precio unitario de cada artículo. Al verlos por la calle, Luisa recordó que también tenía que comprar material. Necesitaba 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento. ¿Tenía Luisa suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?

IMAGÍNATE ¡¡dos incógnitas!! Para saber si Luisa tiene suficiente necesitamos saber el precio de una cartulina y de una barra de pegamento. O sea, tenemos que buscar el valor de… ¡¡dos incógnitas!! ¿Qué hacer para no tener que ir probando diferentes precios para cada artículo? Pues lo que tienes que hacer es leer con atención las diapositivas que vienen a continuación.

LO QUE APRENDEREMOS Sustitución Igualación Reducción Lo que vamos aprender en esta presentación es: Lo que es un Sistema de Ecuaciones Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con una sola incógnita: Sustitución Igualación Reducción

SISTEMAS DE ECUACIONES En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día. Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la barra de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas. La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 2´90 La situación de Víctor sería: 8x + y = 3´10 Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

SISTEMAS DE ECUACIONES Resumiendo: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí Resolver un sistema de ecuaciones es buscar el valor de cada una de las incógnitas.

Sistemas de Ecuaciones ECUACIÓN 1 ECUACIÓN 2 INCÓGNITA X DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS INCÓGNITA Y

Sistemas de Ecuaciones: RESOLUCIÓN SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN

Y SUSTITUCIÓN 1º Se despeja una incógnita ¿CUÁL? PISTA: Busca la que esté sola

SUSTITUCIÓN 1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones 2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación

SUSTITUCIÓN Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y 3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y

SUSTITUCIÓN 4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación Hemos obtenido el valor de la otra incógnita

SUSTITUCIÓN SOLUCIÓN: ; 5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones. Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta SOLUCIÓN: ;

X IGUALACIÓN 1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones ¿CUÁL? PISTA: Busca la que esté sola X

IGUALACIÓN Se igualan los segundos miembros Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro

IGUALACIÓN Cojemos cualquiera de las ecuaciones Sustituimos en ella el valor que obtuvimos Hemos obtenido el valor de la otra incógnita

IGUALACIÓN Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta SOLUCIÓN:

REDUCCIÓN Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas. NO ¿Eliminamos alguna incógnita? Pues tendremos que hacer algunos cambios

REDUCCIÓN Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una de las incógnitas de la otra ecuación. Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera

REDUCCIÓN X Ahora sumamos Resolvemos la ecuación obtenida Eliminamos así una incógnita X Y ahora calculamos x

Tomamos una de las ecuaciones REDUCCIÓN Tomamos una de las ecuaciones Sustituimos en ella el valor encontrado

Comprobamos los resultados REDUCCIÓN Comprobamos los resultados Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones CORRECTO CORRECTO

Esto, esto, esto... ¡esto es todo, amigos! Ahora… ¡¡a practicar!! Por cierto... ¿habrá podido comprar Lucía su material con lo que tenía?