Funciones

LEIBNIZ( 1646- 1716) Un científico todoterreno es la definición más adecuada para el alemán Gottfried Leibniz: jurista, diplomático, filósofo, lingüista, lógico, matemático, físico, especialista en historia, teología… Fue el primero que utilizó el término de función y otros muy importantes como “constante, variable y parámetros”. Leibniz captó el aspecto indeterminado e impreciso del lenguaje hablado e indicó un modo de perfeccionarlo. Pensó en construir un lenguaje artificial y científico donde a cada símbolo correspondería un significado y solo uno, y a cada significado, un único símbolo. Nunca llevó a la práctica esta idea, pero un siglo y medio mas tarde, George Boole comenzó a convertirla en algo concreto: la lógica simbólica.

¿Para qué sirven? Las funciones sirven para describir: Fenómenos físicos: el camino recorrido por un móvil

Económicos: Porcentajes de ventas Biológicos. Temperatura del aire al variar la altura

Simplemente para expresar relaciones matemáticas: El perímetro del cuadrado según la longitud de su lado:

Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se para para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida.

Observando atentamente la gráfica podemos averiguar muchas cosas del paseo que dio el ciclista: distancia más lejana a la que llegó, kilómetros recorridos, tiempo que estuvo fuera, momento en que come, las franjas en las que el ciclista pedalea a mayor o menor velocidad (quizás inducida por la pendiente menor o mayor del terreno durante esa zona de tiempo). Las escalas de cada eje son diferentes: - En el eje horizontal, la unidad significa 1 hora. En el eje vertical, la unidad de escala es equivalente a 20 kms. El punto más lejano al que llegó el ciclista estaba a 80 kms. de su casa, y allí llega a las 6 horas de haber salido. Vemos que la gráfica se extiendo en el tramo 0-8'5, es el intervalo de tiempo que dura la ruta del ciclista.

¿Qué es una función? Es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y X es la variable independiente (el tiempo) Representada en el eje de abscisas Y es la variable dependiente (la distancia hasta el punto de partida). Representada en el eje de ordenadas La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es la función de x

Dominio de una función La gráfica se extiende en el tramo 0-8'5 horas, es el intervalo de tiempo que dura la ruta del ciclista. El intervalo [0, 8'5] se llama dominio de definición de la función. Llamamos dominio al conjunto de valores de la variable independiente

Imagen o recorrido El recorrido va de 0 a 80 km. El intervalo [0,80] es la imagen de la función. Llamamos imagen al conjunto de valores de la variable dependiente.

Además… Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas: la abscisa x ; la ordenada y. Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los valores de las dos variables.

ACTIVIDADES: Observando la gráfica anterior, responde: ¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer? ¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada? ¿Cuánto tiempo ha estado comiendo? ¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar? ¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada? ¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a más velocidad el ciclista? ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta?

¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función? Es una función No es una función

ACTIVIDADES

ACTIVIDADES: 1. Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que sí lo sean, indica cuál representa la variable independiente y cuál la dependiente. A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente. Y=x+1 SI A todo número natural se le asocian sus divisores. NO A todo número fraccionario se le asocia su inverso. Y=1/x SI A todo número se le asocia su raíz cuadrada. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase. A todo número se le asocia su doble más siete. Y=2x+7 SI

Continuidad Para que nos hagamos una idea, una función continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo la dibujada a continuación:

Veamos algunos tipos de discontinuidades que pueden presentarse: Pero la mayoría de las funciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continuas sólo en algunos "trozos" de su dominio   Veamos algunos tipos de discontinuidades que pueden presentarse: Discontinuidad de salto finito. Se presentará una discontinuidad de salto finito en un valor x = a cuando en la gráfica observemos una separación o salto entre dos trozos de la función que pueda medirse. Esto es debido a que la tendencia de la función a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha. En la gráfica representada a la derecha observamos lo indicado.

Discontinuidad de salto infinito. Cuando en un punto de la curva observamos que la tendencia a la izquierda o a la derecha (o ambas) es a alejarse al infinito (más infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto infinito en el punto a.

Discontinuidad evitable. Si nos encontramos que la continuidad de la gráfica se interrumpe en un punto donde no hay imagen, o la imagen está desplazada del resto de la gráfica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a. Aquí la tendencia de la función a la izquierda de a y a la derecha de a sí coincide, sin embargo es f(a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe.

Definiciones Una función es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. Por tanto su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. También se puede decir que una función es continua en un tramo aunque tenga discontinuidades en otros lugares

ACTIVIDADES: Estudia la continuidad en las funciones que se presentan aquí.

Crecimiento y decrecimiento Un determinado parásito se reproduce dividiéndose en dos cada segundo. La función que determina el número de parásitos que hay en cada segundo de tiempo que transcurre Es la representada a la izquierda, y por el sistema de reproducción del parásito es obvio que a medida que pasa el tiempo hay mayor número de ellos. Es decir, al aumentar el valor de la variable x, también aumenta el valor de la variable y. Esto es que la función es estrictamente creciente. Si x1<x2      f(x1)<f(x2)

Esto es que la función es estrictamente decreciente. Al aumentar la altura por encima del nivel del mar a la que nos encontremos, la presión atmosférica va disminuyendo, además no uniformemente, sino que al principio disminuye más rápidamente que después. Es decir, al aumentar el valor de la variable x, ahora disminuye el valor de la variable y. Esto es que la función es estrictamente decreciente. Si x1<x2     f(x1)>f(x2) (ahora, entre las imágenes, se invierte la desigualdad que existía entre los valores de la variable independiente)

Pero la mayoría de las funciones no van a ser siempre creciente o siempre decreciente, sino todo lo contrario. Se presentarán como la que se muestra en la gráfica de la izquierda, que tiene trozos en los que su comportamiento es creciente, y trozos en los que su comportamiento es decreciente. El estudio del crecimiento-decrecimiento de una función lo haremos por intervalos del dominio, indicando en cuáles es creciente y en cuáles decreciente.  A partir de la gráfica se ve claro el crecimiento-decrecimiento de una manera intuitiva, pero siempre mirándola de izquierda a derecha, que es como va aumentando la variable independiente x.

Definiciones Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente x aumenta la variable dependiente y Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente x disminuye la variable dependiente y También podemos decir que un tramo de una función es creciente o decreciente. Cuando la función no crece ni decrece, decimos que la función es constante

Máximos y mínimos Debido precisamente a esos cambios que vemos en algunas funciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasan de crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremos (máximos y mínimos).

Una función tiene un máximo en un punto cuando ha pasado de crecer a decrecer en ese punto. Una función tiene un mínimo en un punto cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha Tiene un máximo en x=2 Tiene un mínimo en x=2

Una función puede tener varios extremos relativos, de entre ellos diferenciaremos entre máximo absoluto y mínimo absoluto. Llamaremos máximo absoluto al máximo cuya ordenada sea mayor que todas las ordenadas de los puntos de la función. Llamaremos mínimo absoluto al mínimo cuya ordenada sea menor que todas las ordenadas de los puntos de la función.

Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana ¿El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8? Indica los tramos en los que la función es decreciente y los tramos en los que es creciente. ¿En qué tramo no hay variación en el número de viajeros? ¿Cómo dirías que es la función en ese tramo? ¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros?

En el intervalo [0, 2] y [3, 5] : La función es estrictamente creciente En el intervalo [2, 3] y [5, 10] : La función es estrictamente decreciente En el punto de abscisa x=2 y x=5 son máximos En el punto de abscisa x=3 tenemos un mínimo.

Simetrías Observa la siguiente gráfica. La parte de la curva a la izquierda del eje Oy es la imagen reflejada de la que está a la derecha del eje. Esto es que la función es simétrica respecto del eje de ordenadas o simétrica par. Una función es simétrica respecto al eje Oy (eje de ordenadas) si cumple que f(x) = f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría par de la función f.

En cambio ésta otra, se muestra cómo la rama de la izquierda del eje vertical es el reflejo de la de la derecha, pero no respecto a este eje, sino respecto al origen de coordenadas. Ahora, la función es simétrica respecto al origen, o sea, simetría impar. Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si cumple que f(x) = - f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría impar de la función f.

Periocidad Observa la siguiente gráfica: Representa la distancia en millones de kilómetros del cometa Halley al Sol a lo largo de los últimos siglos Como puedes comprobar, la curva se repite cada cierto intervalo del eje de abscisas, a esto llamamos periodicidad.

Definiciones (Página 213 Cuadros amarillos- Deberes: ejercicio 16) Las funciones periódicas son aquellas cuyo comportamiento se va repitiendo cada vez que la variable independientes recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese intervalo se le llama periodo Una función periódica queda determinada conociendo su comportamiento en un periodo

ACTIVIDADES De las siguientes funciones indica cuál es periódica y cuál no. En la que sí lo sea intenta hallar el período:

Cortes con los ejes Para estudiar una función, es conveniente el representarla. Vamos a representar la función f(x)=-4x-2

Cortes con los ejes Para ello construimos una tabla de valores: X F(x)=-4x-2 -2 -4.(-2)-2=6 -4.0-2=-2 1 -4.1-2=-6

Cortes con los ejes

Cortes con los ejes

¿Evaluamos lo aprendido? 1) En una función, ¿le pueden corresponder a la variable independiente más de un valor de la variable dependiente? NO 2) El conjunto de valores de la variable independiente a los que siempre le corresponden valores de la dependiente se llama: abscisas

¿Representa la imagen de la izquierda una función? SI Señala entre las siguientes características las que presenta la función de la izquierda: Simétrica par Continua Periódica - Decreciente

El dominio de esta función es: En x=3 tiene una discontinuidad de tipo: En x=1 tiene una discontinuidad de tipo En x=-3 tiene una discontinuiad de tipo Indica dónde crece la función Indica dónde decrece la función Indica los máximos y mínimos de la función

¿Cuál es simétrica par y cuál es simétrica impar?