Realimentacion de la salida Sistemas dinamicos Realimentacion de la salida

Contenido El estimador de estado El observador a lazo abierto El observador a lazo cerrado Diseño del observador El observador de orden reducido

El estimador de estado

El observador de estado El control por realimentacion de estados asume la disponibilidad de todas las variables de estado. En la practica, sin embargo, este puede no ser el caso, ya sea porque ciertos estados no son medibles, o es muy dificil o muy caro medirlos.

El observador de estado A fin de implementar una realimentacion de estados debemos entonces diseñar un dispositivo dinamico cuya salida sea una estimacion del vector de estados: El observador de estados es una estimacion de x

Arquitectura del control Resultados validos si remplazando y(t) por Se asume el sistema conocido, con D = 0 Se usa una estimacion del estado para generar el control

El observador a lazo abierto

El observador a lazo abierto Idea: Conociendo A y B, duplicar la ecuacion de estados original Usando solo la entrada para exitar el estimador de lazo abierto Si el sistema y el observador tienen las mismas condiciones iniciales, entonces, para, para cualquier entrada

Calculo del estado inicial Si el sistema es observable, su estado inicial x(0) puede ser calculado de u y y en cualquier intervalo de tiempo, por ejemplo, [0, t1]. ¿Como hallar el estado inicial x(0) del sistema para usarlo en el observador?

Calculo del estado inicial Pasos a implementar en el observador: Calcular el estado inicial x(0) Calcular el estado en t2 y hacer Entonces: para todo t  t2. ¿algun problema?

(los valores propios de la matriz A). Dinamica del error La ecuacion del error de estimacion esta dada por Si A es Hurwitz, entonces → 0 cuando t → ∞. Por lo tanto, la dinamica del error esta completamente determinada por la dinamica en lazo abierto del sistema (los valores propios de la matriz A). ¿algun problema?

Limitaciones del observador a lazo abierto El observador en lazo abierto tiene las siguientes importantes desventajas: Aun con la matriz A estable, esta dinamica pudiera ser muy lenta. Si A tiene autovalores con parte real positiva, entonces cualquier pequeña diferencia entre y para algun t0, causada por un disturbio o una imperfeccion en la estimacion del estado inicial, hara que: crezca con el tiempo

El observador a lazo cerrado

El observador a lazo cerrado Observador a lazo cerrado = estimador asintotico Usando la entrada y la salida A, B and C son conocidos

El observador a lazo cerrado Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico A, B and C son conocidos El error de estimacion de la salida, pasando por una ganancia constante L, es usado como un termino de correccion. Si el error es cero, no es necesaria ninguna correcion.

El observador a lazo cerrado Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico A, B and C son conocidos Si la diferencia no es cero y si la ganancia L se diseña apropiadamente, la diferencia llevara al estado estimado a su estado real Forma simplificada

El error de estimacion El estado verdadero: El estado de estimado: La dinamica del error Si todos los autovalores de (A  LC) pueden ser asignados arbitrariamente, podemos controlar la velocidad con que el error de estimacion se aproxima a cero No hay necesidad de calcular el estado inicial de la ecuación de estado original.

Teorema Teorema de la asignacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C) Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable.

Teorema Teorema de la signacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. Prueba: Recurriendo a la dualidad controlabilidad/observabilidad, el par (A, C) es observable si y solo si (AT, CT) es controlable. Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT  CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (AT  CTK) es (A  KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT.

Teorema Teorema de la signacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT  CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (AT  CTK) es (A  KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT. El mismo procedimiento usado para calcular la matriz de realimentacion de estados K sirven para calcular la matriz L del observador.

Procedimiento de diseño del observador Obtener el par (AT, CT). Si el par es controlable continuar  Elegir los valores propios deseados del observador en lazo cerrado  Usando (AT, CT), calcular la matriz de realimentacion K mediante el procedimiento para la asignacion de autovalores, via la forma canonica. Obtener L = KT con la funcion K = place(AT, CT,P) de MATLAB

Realimentacion de la salida

Arquitectura del control Resultados validos si remplazando y(t) por Se asume el sistema conocido, con D = 0 Se usa una estimacion del estado para generar el control

Dinamica del estado en lazo cerrado Definiendo el estado del sistema aumentado, en lazo cerrado Partiendo de las ecuaciones

Dinamica del estado en lazo cerrado Dinamica del error

Dinamica del estado en lazo cerrado La dinamica del sistema aumentado: Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de

Caracteristicas La ecuacion de estado resultante no es controlable y la funcion de transferencia es igual a Esta es la funcion de transferencia del sistema realimentado original sin usar el estimador de estado El estimador es completamente cancelado en la funcion de transferencia desde r a y

Diseño del control Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de Esta es la propiedad de la separacion: la solucion en dos diseños separados Obtener los autovalores deseados de A – BK seleccionando la ganancia de realimentacion Obtener los autovalores deseados de A – LC seleccionando la ganancia del observador

Ejemplo 1 Diseñar la realimentacion de estado u = r  Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2. Solucion:

Ejemplo 1 Diseñar la realimentacion de estado u = r  Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2. Realimentacion de estado:

Ejemplo 1 Sistema original: Sistema realimentado:

Ejemplo 1 Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5. Solucion:

Ejemplo 1 Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5. Es estimador de estado:

Ejemplo 2 Diseñar el observador para el pendulo invertido en el carro

Ejemplo 2 Comprobamos si el par (AT, CT) es controlable desde la primera salida matlab sysO = ss(A',C',C,D) Q = ctrb(sysO)

Ejemplo 2 Se seleccionan los autovalores deseados del observador escogidos por las propiedades de la respuesta Polinomio caracteristico deseado en lazo cerrado

Ejemplo 2 Polinomio caracteristico en lazo abierto Ganancia del observador, para el sistema en la forma canonica

Ejemplo 2 La ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es, Finalmente

Ejemplo 2 El observador

Ejemplo 2 El observador con realimentacion Para

Ejemplo 2 Comparacion

Ejemplo 3 Considere el péndulo invertido del ejemplo anterior Sean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j . EJERCICIO: Diseñar el controlador con observador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo cerrado en Simulink MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el vector P.

El observador de orden reducido

El observador de orden reducido Se supondra, ahora, que q de los n estados del sistema pueden ser medidos en forma directa. Estos estados se agrupan en el vector mientras que los restantes n − q estados se agrupan en La ecuacion de estado original C tiene rango completo de fila

El observador de orden reducido Si C = [ I 0 ], entonces y(t) son los primeros q estados definiendo,

El observador de orden reducido definiendo Una base para Null(C)

El observador de orden reducido

El observador de orden reducido Definiendo la transformacion P Por la transformacion

El observador de orden reducido Todos los estados x1 son accesibles. Solo necesitan ser estimados los ultimos nq elementos de Usando , tenemos Definiendo, En la ecuacion de salida se ha puesto de manifiesto que todos los estados x1 son accesibles y seran tomados como salidas para su realimentacion 

El observador de orden reducido El problema se reduce a diseñar un observador para el sistema: Definiendo,

El observador de orden reducido Definiendo, Requiere derivar la salida!!

El observador de orden reducido Para eliminar la derivada, definir Entonces,

El observador de orden reducido Para eliminar la derivada, definir Entonces,

El observador de orden reducido Entonces, Estimar:

Realimentacion de los estados estimados El control se genera por la realimentacion de los estados estimados

Realimentacion de los estados estimados Sistema aumentado en lazo cerrado Existe separacion de los problemas de la estimacion de los estados y el control

Realimentacion de los estados estimados Si (A, C) es observable, puede ser construido un estimador completo o de orden reducido con valores propios arbitrarios Si las variables de estado NO estan disponibles para realimentacion, podemos diseñar un estimador de estado

Bibliografia A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

FIN