ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Para calcular el área de un cuerpo geométrico realizaremos el desarrollo plano de la figura, calculando las distintas áreas por separado y sumándolas al final.
Antes de comenzar, tenemos que repasar el Teorema de Pitágoras, puesto que va a aparecer en algunos de estos problemas. Pero no sólo aparecerá sobre un plano, como estamos acostumbrados, sino que también aparecerá en el espacio.
Para hallar la distancia D podemos aplicar lo siguiente: Habrá ocasiones en que no se presente de esta forma y tengamos que considerar triángulos por separado en distintos planos para calcular las longitudes necesarias.
Área de un PRISMA A = 2·Abase + nºcaras · Acara
Ejemplo: Área de un PRISMA A = 2·Abase + nºcaras · Acara 20 cm Teorema de Pitágoras 42 = Ap2 + 22 12 = Ap2 Ap = 3’464 cm 4 cm perímetro x apotema 2 Área de la base = 4 cm Ap 24 x 3’464 2 Área de la base = = 41’569 cm2 2 cm Área de una cara = 20 x 4 = 80 cm2 Atotal = 41’569 · 2 + 6 · 80 = 563’138 cm2
Área de una PIRÁMIDE A = Abase + nºcaras · Acara Nota: La altura de la pirámide no coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.
Ejemplo: Área de una PIRÁMIDE A = Abase + nºcaras · Acara 15 cm 5’505 cm perímetro x apotema 2 Área de la base = 4 cm 20 x 5’505 2 Área de la base = = 55’05 cm2 h 15 cm Teorema de Pitágoras h2 = 152 + 5’5052 h2 = 255’3109 h = 15’978 cm 5’505 cm 15’978 x 4 2 Área de una cara = = 31’956 cm2 Atotal = 55’05 + 5 · 31’956 = 214’83 cm2
Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE A = Abase mayor + Abase menor + nºcaras· Acara Nota: En este caso, tampoco la altura de la pirámide coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.
2 cm Ejemplo: Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE A = Ab mayor + Ab menor + nºcaras · Acara 10 cm Área de la base mayor = 4 x 4 = 16 cm2 4 cm 2 cm Área de la base menor = 2 x 2 = 4 cm2 h Teorema de Pitágoras h2 = 102 + 12 h2 = 101 h = 10’05 cm 10 cm 4 cm (4 + 2) x 10’05 2 Área de una cara = = 30’15 cm2 h 10 cm Atotal = 16 + 4 + 30’15 x 4 = 140’60 cm2 1 cm
Área de un CILINDRO A = 2·Abase + Alateral Abase = π r2 Alateral = 2πr · h
Ejemplo: Área de un CILINDRO A = 2·Abase + Alateral 3 cm 12 cm Área de la base = π r2 = 9π cm2 Área lateral = 2 π r h = 2 π 3 · 12 = 72 π cm2 Atotal = 2·9π + 72π = 90π cm2 = 282’743 cm2
Área de un CONO A = Abase + Alateral A = π r2 + π r g Abase = π r2 Alateral = π r g A = π r2 + π r g
Ejemplo: Área de un CONO A = Abase + Alateral Área de la base = π r2 = 9π cm2 Datos r = 3 cm h = 10 cm Teorema de Pitágoras g2 = 102 + 32 g2 = 109 g = 10’44 cm Área lateral = π r g = π 3 · 10’44 = 31’132 π cm2 Atotal = 9π + 31’132π = 40’132π cm2 = 126’08 cm2
Área de un TRONCO DE CONO A = Abase mayor + Abase menor + Alateral Abase menor = π r2 Abase mayor = π R2 Alateral = π g (R + r) A = πR2 + πr2 + πg(R+r)
Ejemplo: Área de un TRONCO DE CONO A = Abase mayor + Abase menor + Alateral Abase mayor = π R2 = 64π cm2 Abase menor = π r2 = 4π cm2 Alateral = π g (R + r) = π 10 (8 + 2) cm2 Alateral = 100 π cm2 Teorema de Pitágoras g2 = 62 + 82 g2 = 100 g = 10 cm Atotal = 64π + 4π + 100π = 168π cm2 Atotal = 527’78 cm2
VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri
Volumen de PRISMAS y CILINDROS V = Abase · h Ejemplo de volumen de un prisma Abase = 32 = 9 cm2 V = 9 cm2 · 5 cm = 45 cm3
Volumen de PRISMAS y CILINDROS V = Abase · h Ejemplo de volumen de un cilindro Abase = π r2 = 9π dm2 V = 9π dm2 · 5 dm = 45π dm3 V= 141’372 dm3
Volumen de PIRÁMIDES Y CONOS V = Abase · h 1 3 Ejemplo de volumen de un cono Abase = π r2 = π 152 = 225π cm2 V = (1/3) 225π cm2 · 13’229 cm V = (1/3) 2976’47π cm3 = 992’16π cm3 V = 3116’96 cm3 1 3 Teorema de Pitágoras g2 = r2 + h2 202 = 152 + h2 175 = h2 h = 13’229 cm
Área y Volumen de una ESFERA A = 4 π r2 V = π r3 4 3 Ejemplo de área y volumen de una esfera: A = 4 π r2 = 4 π 102 = 400π m2 = 1256’637m2 V = (4/3) π 103 m3 = (4/3) 1000 π m3 V = 1333’333 π m3 = 4188’789 m3 4 3