HOMOLOGÍA Y ÁRBOLES RECUBRIDORES Jose Manuel Falces Sánchez Belén Romero Rodríguez

ÍNDICE Introducción Conceptos Básicos Nuestra Aportación Problemas Abiertos Aplicaciones Conclusiones Bibliografía

INTRODUCCIÓN Para empezar… Topología es el estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.

INTRODUCCIÓN

Homología mide el grado de conexión de una figura en función de sus agujeros.

CONCEPTOS BÁSICOS Representación basada en Complejos Transformaciones Algoritmo Incremental Árbol Recubridor

REPRESENTACIÓN BASADA EN COMPLEJOS Complejo Simplicial Espacio topológico que se define por sus vértices y símplices, siendo símplice un conjunto de n+1 vértices.

NUESTRA REPRESENTACIÓN 0-Celda: Punto que representa el centro de un píxel negro. 1-Celda: Arista que une dos puntos negros adyacentes.

NUESTRA REPRESENTACIÓN 2-Celda: Celdas compuestas por 1-Celdas, serán triángulos o cuadrados. Representan la situación de tres o cuatro píxeles negros adyacentes unidos por sus respectivas aristas.

TRANSFORMACIONES Las transformaciones consisten en una forma de adelgazamiento basada en la contracción de 1-Celdas y 2- Celdas. Una componente conexa se transforma en un punto y un agujero en una arista.

TRANSFORMACIONES El resultado de las transformaciones viene dado por: 1 + ∂Φ + Φ∂ Donde: 1 es la Identidad ∂ representa el borde Φ representa la transformación aplicable

EJEMPLO Dada la 2-Celda y las siguientes transformaciones: Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3) Φ(4) = (3, 4)

EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

EJEMPLO

ALGORITMO INCREMENTAL Calcula el conjunto H (conjunto homológico) a medida que se añaden píxeles negros a la imagen.

ALGORITMO INCREMENTAL

ÁRBOL RECUBRIDOR Se trata de un subgrafo sin ciclos que permite interconectar todos los vértices.

NUESTRA APORTACIÓN

¿Qué transformaciones aplicamos y en qué orden?

NUESTRA APORTACIÓN Φ(15) = (0 1), (1 2), (2 3), (3 7), (7 11), (11 15) Φ(14) = (0 4), (4 8), (8 12), (12 13), (13 14) …

NUESTRA APORTACIÓN Φ(15) = (0 1), (1 2), (2 3), (3 7), (7 11), (11 15) Φ(14) = (0 4), (4 8), (8 12), (12 13), (13 14) … Árbol 0-1

NUESTRA APORTACIÓN Φ(10, 11) = ((6 7) (6 10) (7 11) (10 11)), ((2 3) (2 6) (3 7) (6 7)) Φ(8, 9) = ((4 5) (4 8) (5 9) (8 9)), ((0 1) (0 4) (1 5) (4 5)) … Árbol 1-2: 2 posibles recorridos Árbol 1-2

NUESTRA APORTACIÓN Resultado Árbol 0-1 por cada componente conexa. Recorrido de árbol 1-2 que termine en 1-Celda indica agujero.

NUESTRA APORTACIÓN Además: Φ(9) = (5 9) Φ(13) = (8 12), (5 8), (12 13)

NUESTRA APORTACIÓN Influencia de la entrada en el árbol resultante Estudios previos Tiempo de ejecución Pero influye en el árbol Puede tener aplicaciones prácticas Usamos varios recorridos: Éstandar, Espiral, Éstandar Inverso, Zig-Zag Horizontal, Zig-Zag Horizontal Inverso, Zig-Zag Vertical, Punto Creciente y Centro de Masas

NUESTRA APORTACIÓN Ejemplos Recorrido Éstandar

NUESTRA APORTACIÓN Ejemplos Recorrido Espiral

NUESTRA APORTACIÓN Ejemplos Recorrido Punto Creciente Cero Celda Inicial: 0

NUESTRA APORTACIÓN Pasamos a lo más importante: Algoritmo Incremental Homología Árbol recubridor ?

NUESTRA APORTACIÓN Motivación Algoritmo IncrementalO (n 3 ) Algoritmo de árboles recubridores Orden lineal Árboles recubridores tienen más funcionalidad

NUESTRA APORTACIÓN

PROBLEMAS ABIERTOS Generalización a 3D Profundizar en el uso práctico de la influencia de los recorridos Profundización en el estudio del uso de árboles recubridores para Homología Árboles a partir de Homología

APLICACIONES Método de Elementos Finitos Robótica Sistemas CAD/CAM

CONCLUSIONES Relación entre Árboles recubridores y Homología Uso de cualquier algoritmo de Árboles recubridores para obtener Homología (menor complejidad, mayor versatilidad). ¿Por qué no tratar de obtener los árboles recubridores a partir de la Homología?

BIBLIOGRAFÍA González Díaz, Rocío, Medrano, Belén, Sánchez Peláez, Javier, Real, Pedro, “Simplicial Perturbation Techniques and Effective Homology”. In CASC Vol LNSC 4194, pp González Díaz, Rocío, Jiménez, Mª José, Medrano, Belén, Molina-Abril, Helena, Real, Pedro, “Integral Operators for Computing Homology Generators at any Dimension”. Real, Pedro, Molina-Abril, Helena, “Cell AT-Models for Digital Volumes”. 7th IAPR -TC-15 GbR 2009, May , Venice (Italy). Real, P., Molina-Abril, H. and Kropatsch W., “Homological tree-based strategies for image analysis”.

APLICACIÓN