Teoría de Autómatas II 3º curso Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas UNED

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Sesión 8 Problemas NP

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Clase NP: – Lenguajes que pueden aceptar Máquinas de Turing No- Deterministas en tiempo polinómico Puesto que las MdT deterministas están contenidas en la clase de las MdT no-deterministas, P  NP Actualmente, no se sabe si P=NP – Tampoco se sabe si aceptar un lenguaje en tiempo polinómico es equivalente a decidirlo en tiempo polinómico

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Clase NP: – Existen muchos problemas que se sabe pertenecen a NP pero no se sabe si pertenecen a P Ejemplo problema viajante de comercio (página 279) Si alguien demostrara que P=NP – Se tendría “esperanza” en resolver muchos problemas “sin solución” en tiempo polinómico – El apéndice E muestra muchos problemas de la clase NP

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Reducciones Polinómicas: – Es una transformación de un lenguaje a otro lenguaje Dado un lenguaje L 1 del alfabeto Σ 1 y otro lenguaje L 2 del alfabeto Σ 2 Es una función f tal que w є L 1 sí y solo sí f(w) є L 2 f es computable en tiempo polinómico “L 1 se reduce a L 2 “ se representa L 1 α L 2 – Es una herramienta muy útil para clasificar problemas

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Reducciones Polinómicas: – Si M f es una reducción polinómica de L 1 a L 2 y M 2 reconoce L 2 entonces: → M f M 2 reconoce L 1 – Teorema 5.3 (página 281) – Si L 1 α L 2 y L 2 está en P, entonces L 1 está en P – Si L 1 α L 2 y L 1 no está en P, entonces L 2 no está en P

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Preliminares Teorema de Cook: – Cook utilizó el teorema 5.3 para enunciar el famoso teorema de Cook que permite clasificar lenguajes – Identifica un lenguaje en NP al que cualquier otro lenguaje en NP se puede reducir Si alguna vez se demuestra que el lenguaje se halla en P, entonces todos los lenguajes de NP pertenecen a P – Preliminares – Sea V = {v1, v2, v3} un conjunto de variables booleanas – Asignación de verdad, literal y claúsula

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Problema de Satisfactibilidad o SAT: – Dado un conjunto finito de variables V y una colección de cláusulas con respecto a V, ¿existe una asignación de verdad que satisfaga las cláusulas? – Resolución – Codificar las cláusulas con 0, p y n (página 283) – L SAT : lenguaje consistente en aquellas cadenas que representan casos de SAT que satisfacen alguna asignación de verdad

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Problema de Satisfactibilidad o SAT: – EJERCICIO: – Representar las cláusulas: “v1 o ¬v2” “v1 o ¬v2 o ¬v3” “¬v1 o v2 o v3” “¬v1 o v2 o ¬v3 o ¬v4” – (p000/0n00) (p000/0n00/00n0) (n000/0p00/00p0) (n000/0p00/00n0/000n) – Asignación de verdad: v1, ¬v2, v3, ¬v4 = pnpn – Utilizar algoritmo Figura 5.15 (página 284)

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Ejercicio 3 (página 291): – A SI – B SI – C NO – D NO

Teoría de Autómatas II3º Ing. Tec. Informática SistemasJosep Silva Galiana Complejidad de los Problemas Problema de Satisfactibilidad o SAT: – El algoritmo de la Figura 5.15 (página 284) tiene un coste polinómico en una máquina no-determinista – Pertenece a la clase NP Teorema de Cook: – Si L es cualquier lenguaje en NP, entonces L α L SAT – Todos los lenguajes de NP se reducen a L SAT – Desde el teorema de Cook se han encontrado otros lenguajes con las propiedades de L SAT (NP-completos) – Leer párrafo final (página 290)