INTERVALO DE CONFIANZA ¿Dónde esta el Parámetro?

Concepto El parámetro poblacional es frecuentemente un valor desconocido que solo puede ser estimado usando los dotas obtenidos de una Muestra. De ahí que resulta necesario determinar con cierto grado de certeza cual puede ser el verdadero parámetro.

PARAMETRO INTERVALO ESTIMADOR

Definición Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. Wikipedia ???

Intervalo de confianza

Resumen En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

Que lo hace variar El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

La distribución Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, Es habitual que el parámetro se distribuya normalmente

Intervalo de confianza para la media de una población De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:[2] Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,[3] la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa

Distribución del parametro Esto se representa como sigue

Distribución De forma estandarizada

Nivel de Confianza La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Usando Z Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple : P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95

Luego, si una variable X tiene distribución N(μ, ), entonces el 95% de las veces se cumple:

Despejando en la ecuación se tiene:

Usando estimadores Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional , la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es muy poco práctico.

Ejemplo: Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 perros de una escala de precisión al capturar un objeto (mayor puntaje significa mayor precisión). 2 5 6 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20

Construcción Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con media µ y varianza poblacional σ2 desconocida. El promedio es 14.5 aciertos, como σ2 es desconocido, lo estimamos por s2 =18.7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es: Recuerda que el 1.96 viene de la Distribución Normal estándar

Conclusión Luego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%. Por lo tanto con un 95 % de confianza diremos que cualquier perro tendrá una precisión entre 13,2 y 15,8

Intervalo de confianza para la Varianza de Una población Al igual que para la media se puede elaborar un intervalo de confianza para el otro parámetro importante de la población que es la Varianza σ2 La única diferencia es que la parte probabilística esta dada por la distribucion Chi cuadrada (en lugar dela normal)

Intervalo de confianza para la varianza S2 ± χ ϊ∞ (E.S) El estimador de la varianza Mas y menos Chi con ϊ grados de libertad a una alfa (chi no es simétrica) y el error estándar

Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis. Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a parámetros poblacionales. Tomemos como ejemplo el caso de la remodelación del Zoológico los coyotes,

Planteamiento En el Zoológico “Los coyotes” hicieron en el encierro de los lobos, cambiando algunos aspectos de la jardinería. Para poder determinar si los cambios les gustaban a los lobos dividieron al encierro en dos, la llamada zona uno permaneció inalterada, la llamada zona dos se añadieron más arbustos. Durante un mes midieron el tiempo de uso de cada área por los dos lobos del encierro. Los datos se reportan en minutos por día por lobo.

DATOS Día Zona 1 Zona 2 1 25.5 43.6 2 23.9 114.6 3 27.8 41.6 4 20.1 119.4 5 22.4 114.0 6 26.4 65.6 7 34.1 51.2 8 38.5 69.3 9 38.9 85.8 10 32.3 72.6 11 33.6 39.4 12 32.0 112.7 13 31.7 93.7 14 39.5 110.1 15 106.7 16 42.5 30.4 17 42.2 51.3 18 43.5 35.1 19 102.2 20 49.3 71.2 21 47.6 54.7 22 44.3 116.0 23 41.9 132.6 24 47.8 132.5 25 48.6 116.3 26 45.0 101.2 27 47.0 83.0 28 68.0 86.9 29 60.3 118.2 30 60.0 84.3

Gráficos y Datos Zona 1 Zona 2 Media 39.89333333 85.2066667 Varianza 130.6944368 975.393057 Desv.Std 11.43216676 31.2312833 Error Estd. 2.122900072 5.79950372

Intervalos de Confianza Promedio Z E.S. Zona 1 39.89 ± 1.96 2.12 Zona 2 85.21 5.80 Lim. Inferior Lim. Superior Zona 1 35.73 44.05 Zona 2 73.84 96.57

Conclusión Como los dos intervalos NO se sobreponen en ningún Punto (el límite superior de la zona 1 es menor que el límite Inferior de la zona 2) podemos decir que si hay Diferencia entre las dos zonas siendo mayor el tiempo que pasan los lobos en la zona 2 y por tanto diciendo que si sirvieron los cambios