PLANIFICACION Y CONTROL Carrera de Ingeniería Industrial UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS IND 210 PLANIFICACION Y CONTROL DE LA PRODUCCION I Carrera de Ingeniería Industrial

Planificación y Gestión de Producción Gabinete de Planificación y Gestión de Producción Gestión 2004 Alex D. Choque Flores aleks2m@hotmail.com

PRONOSTICO DE SERIES TEMPORALES PROCESOS CON TENDENCIA

Procesos con Tendencia TECNICAS DE PROYECCION Ajuste de Sipper Modelo de Holt Suavizamiento Exponencial Simple con Tendencia Regresión simple con tiempo Los procesos con tendencia presentan incrementos ó decrementos sostenidos en el tiempo, también se necesita una gran cantidad de registros para comprobar si cumple un proceso de este tipo.

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 2 132 92 35 1225 28% 3 143 127 -24 24 576 23% 4 180 103 62 3844 38% 5 200 165 -33 33 1089 25% 6 168 -21 21 441 19% 7 212 111 63 3969 36% 8 254 174 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Nuestro ejemplo: Demanda de atención de auto service en nuestro local de reparaciones 2PAC. En la tabla se tiene el registro de los últimos 8 meses.

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 2 132 92 35 1225 28% 3 143 127 -24 24 576 23% 4 180 103 62 3844 38% 5 200 165 -33 33 1089 25% 6 168 -21 21 441 19% 7 212 111 63 3969 36% 8 254 174 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Promedio I = 133.8 ubicado en t = 2.5 Promedio II = 208.5 ubicado en t = 6.5 Promedio G = 171.1 ubicado en t = 4.5 En la técnica de Ajuste de Sipper, se divide la serie en dos partes, se calculan los promedios de cada parte y el promedio global

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 2 132 92 35 1225 28% 3 143 127 -24 24 576 23% 4 180 103 62 3844 38% 5 200 165 -33 33 1089 25% 6 168 -21 21 441 19% 7 212 111 63 3969 36% 8 254 174 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Promedio I = 133.8 Promedio II = 208.5 Promedio G = 171.1 Se calcula la tendencia de una recta imaginaria a través de la pendiente entre los puntos, ésta línea naranja es la serie de términos lineales X

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 2 132 92 35 1225 28% 3 143 127 -24 24 576 23% 4 180 103 62 3844 38% 5 200 165 -33 33 1089 25% 6 168 -21 21 441 19% 7 212 111 63 3969 36% 8 254 174 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Tendencia = 18.7 Valor X final = X8 = 171.1 + (8—4.5)*18.7 X8 = 236.5 Se calcula el último valor del término lineal X en t = 8, no es nada más que la proyección en la recta dibujada de los datos reales.

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 2 132 92 35 1225 28% 3 143 127 -24 24 576 23% 4 180 103 62 3844 38% 5 200 165 -33 33 1089 25% 6 168 -21 21 441 19% 7 212 111 63 3969 36% 8 254 174 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% ŷ 9 = X 9 = 236.5 + 1(18.7) = 255.2 ŷ10 = X10 = 236.5 + 2(18.7) = 273.9 ŷ11 = X11 = 236.5 + 3(18.7) = 292.6 Confiando siempre en éste dato, proyectamos la línea naranja esperando que esta proyección será el pronóstico de los datos reales

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 105,7 2 132 124,4 35 1225 28% 3 143 143,1 -24 24 576 23% 4 180 161,8 62 3844 38% 5 200 180,5 -33 33 1089 25% 6 168 199,2 -21 21 441 19% 7 212 217,8 63 3969 36% 8 254 236,5 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% ŷ t = X t = 236.5 – (8 – t)*(18.7) Los pronósticos en anteriores periodos se consigue fácilmente hallando todos los puntos de la línea naranja.

Técnica: Ajuste de Sipper yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 105,7 -25,7 25,7 661,5 32,1% 2 132 124,4 7,6 57,7 5,8% 3 143 143,1 -0,1 0,1 0,0 0,1% 4 180 161,8 18,2 331,9 10,1% 5 200 180,5 19,5 381,5 9,8% 6 168 199,2 -31,2 31,2 970,7 18,5% 7 212 217,8 -5,8 5,8 34,1 2,8% 8 254 236,5 17,5 305,2 6,9% 9 97 15,7 342,8 10,8% Ahora, el cálculo de errores es más fácil

Técnica: Modelo de Holt yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 105,7 -25,7 25,7 661,5 32,1% 2 132 124,4 7,6 57,7 5,8% 3 143 143,1 -0,1 0,1 0,0 0,1% 4 180 161,8 18,2 331,9 10,1% 5 200 180,5 19,5 381,5 9,8% 6 168 199,2 -31,2 31,2 970,7 18,5% 7 212 217,8 -5,8 5,8 34,1 2,8% 8 254 236,5 17,5 305,2 6,9% 9 97 15,7 342,8 10,8% Xt = αyt + (1—α)(Xt-1+Tt-1) Tt = β (Xt—Xt-1) + (1—β) Tt-1 ŷ t+k = Xt +kTt α es el coeficiente de suavizamiento lineal β es el coeficiente de suavizamiento de tendencia K es el número de periodos en el futuro El modelo de Holt supone que tanto el término lineal X y el término de tendencia T no tienen que ser constantes, sino que pueden suavizarse mediante fórmulas de iteración sucesiva

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 2 132 3 143 4 180 5 200 6 168 7 212 8 254 9 97 0,0 15,7 342,8 10,8% Por lo tanto debemos crear dos nuevas columnas: una para el término lineal Xt y otro para el de Tendencia Tt, de ambos sale el pronóstico: ŷt+1 = Xt + Tt

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 18.7 2 132 3 143 4 180 5 200 6 168 7 212 8 254 9 97 0,0 15,7 342,8 10,8% Al igual que en el Suavizamiento Exponencial Simple, requerimos valores inciales para X y T, utilizaremos X1 = y1 y T1 = Tendencia de Sipper = 18.7

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 18,7 2 132 116,7 33,1 3 143 145,1 29,3 4 180 165,6 22,3 5 200 182,7 18,1 6 168 199,7 17,2 7 212 217,5 17,8 8 254 236,2 18,4 9 97 0,0 15,7 342,8 10,8% X2=0,7(132)+0,3(80+18,7) T2=0,8(116,7-80)+0,2(18,7) Se puede iterar mediante las fórmulas para hallar los demás valores de X y T, en este ejemplo utilizaremos α = 0.7 y β = 0.8

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 18,7 2 132 116,7 33,1 98,7 3 143 145,1 29,3 149,8 4 180 165,6 22,3 174,4 5 200 182,7 18,1 187,8 6 168 199,7 17,2 200,8 7 212 217,5 17,8 216,9 8 254 236,2 18,4 235,3 9 97 0,0 254,6 342,8 10,8% ŷ3 = X2 + T2=116,7+33,1 El pronóstico de un periodo es la suma del término lineal del periodo anterior y la tendencia del anterior periodo.

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 18,7 2 132 116,7 33,1 98,7 3 143 145,1 29,3 149,8 4 180 165,6 22,3 174,4 5 200 182,7 18,1 187,8 6 168 199,7 17,2 200,8 7 212 217,5 17,8 216,9 8 254 236,2 18,4 235,3 9 97 0,0 254,6 342,8 10,8% Parámetros: α = 0,7 β = 0,8 X1 = 80 (primer dato) T1 = 18,7 (x Sipper) Con esta información Usted puede verificar : Bias = +3.6 u., DMA = 16.3 u, DCM = 397.7 u2 y PAME = 9.8%

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 18,7 2 132 116,7 33,1 98,7 3 143 145,1 29,3 149,8 4 180 165,6 22,3 174,4 5 200 182,7 18,1 187,8 6 168 199,7 17,2 200,8 7 212 217,5 17,8 216,9 8 254 236,2 18,4 235,3 9 97 0,0 254,6 342,8 10,8% Parámetros: α = 0,7 β = 0,8 X1 = 80 (primer dato) T1 = 18,7 (x Sipper) Pronósticos: ŷ9 = X8 + T8 = 254,6 ŷ 10 = X8 + 2T8 = 273,1 ŷ 11 = X8 + 3T8 = 291,5 ŷ 12 = X8 + 4T8 = 309,9 El pronóstico para los periodos siguientes es una proyección geométrica similar al de Sipper, con los últimos valores de X y T.

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 171,1 2 132 166,5 -0,9 3 143 163,3 -1,4 165,5 4 180 161,9 5 200 162,5 -1,0 160,5 6 168 165,3 -0,2 161,5 7 212 170,3 0,8 165,0 8 254 177,7 2,1 9 97 0,0 179,8 342,8 10,8% Parámetros: α = 0,1 β = 0,2 X1 = 171,1 (promedio) T1 = 0 (conservador) ¿Que pasa si cambiamos los parámetros del modelo? Probemos con otros y encontraremos el siguiente pronóstico.

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 171,1 2 132 166,5 -0,9 3 143 163,3 -1,4 165,5 4 180 161,9 5 200 162,5 -1,0 160,5 6 168 165,3 -0,2 161,5 7 212 170,3 0,8 165,0 8 254 177,7 2,1 9 97 0,0 179,8 342,8 10,8% Parámetros: α = 0,1 β = 0,2 X1 = 171,1 (promedio) T1 = 0 (conservador) Pronósticos: ŷ9 = X8 + T8 = 179,8 ŷ 10 = X8 + 2T8 = 181,9 ŷ 11 = X8 + 3T8 = 184,1 ŷ 12 = X8 + 4T8 = 186,2 Los errores con estos nuevos parámetros son: Bias = +18.9 u., DAM = 36.5 u., DCM = 1862.7 u2., PAME = 19.1%, son peores resultados que los anteriores.

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 171,1 2 132 166,5 -0,9 3 143 163,3 -1,4 165,5 4 180 161,9 5 200 162,5 -1,0 160,5 6 168 165,3 -0,2 161,5 7 212 170,3 0,8 165,0 8 254 177,7 2,1 9 97 0,0 179,8 342,8 10,8% Parámetros: α = 0,1 β = 0,2 X1 = 171,1 (promedio) T1 = 0 (conservador) Pronósticos: ŷ9 = X8 + T8 = 179,8 ŷ 10 = X8 + 2T8 = 181,9 ŷ 11 = X8 + 3T8 = 184,1 ŷ 12 = X8 + 4T8 = 186,2 Si por cada cambio de parámetros tenemos varios resultados diferentes, entonces ¿qué combinación de parámetros nos otorgaran errores fiables?

Técnica: Modelo de Holt yt Xt Tt ŷt 1 80 80,0 18,7 2 132 115,0 28,0 98,7 3 143 143,1 28,1 143,0 4 180 165,2 24,7 171,1 5 200 183,9 21,2 189,9 6 168 201,4 19,1 205,2 7 212 218,8 18,1 220,4 8 254 236,7 18,0 236,9 9 97 0,0 254,7 342,8 10,8% Parámetros: α = 0,63278 β = 0,57456 X1 = 80 (primer dato) T1 = 18.7 (x Sipper) Pronósticos: ŷ9 = X8 + T8 = 254,7 ŷ 10 = X8 + 2T8 = 272,6 ŷ 11 = X8 + 3T8 = 290,6 ŷ 12 = X8 + 4T8 = 308,6 Bias = +3.4 u, DAM = 16.4 u DCM = 433.7 u2 PAME = 9.72% (mínimo) Esta es la razón por la cual es útil optimizar el modelo mediante el uso del SOLVER de Excel, observe los resultados encontrados.

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 2 132 92 35 1225 28% 3 143 127 -24 24 576 23% 4 180 103 62 3844 38% 5 200 165 -33 33 1089 25% 6 168 -21 21 441 19% 7 212 111 63 3969 36% 8 254 174 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Modelo: ŷt = 79.357 + 20.393 t . R2 = 86.95% Volvamos al problema original, al tener un comportamiento con tendencia ascendente y estable es tentador utilizar la regresión lineal.

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt Tt 1 80 99,8 2 132 120,1 3 143 140,5 4 180 160,9 5 200 181,3 6 168 201,7 7 212 222,1 8 254 242,5 9 262,9 0,0 15,7 342,8 10,8% Modelo: ŷt = 79.357 + 20.393 t R2 = 86.95% Con el modelo matemático es fácil pronosticar valores del pasado (llamado interpolación) incluso para periodos lejanos (interpolación), verifique B = 0!

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 80 99,8 2 132 120,1 35 1225 28% 3 143 140,5 -24 24 576 23% 4 180 160,9 62 3844 38% 5 200 181,3 -33 33 1089 25% 6 168 201,7 -21 21 441 19% 7 212 222,1 63 3969 36% 8 254 242,5 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Modelo: ŷt = 79.357 + 20.393 t . R2 = 86.95% Las predicciones entre el t=1 y t=8 se garantizan, con cierto nivel de confianza, pero los pronósticos fuera de rango son de desconfiar!!!

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 75 99,8 2 158 120,1 35 1225 28% 3 173 140,5 -24 24 576 23% 4 210 160,9 62 3844 38% 5 215 181,3 -33 33 1089 25% 6 199 201,7 -21 21 441 19% 7 220 222,1 63 3969 36% 8 218 242,5 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08% Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94% Otra consideración importante: en el nuevo ejemplo se observa una tendencia que no es lineal, el mejor ajuste es el logarítmico, pero ¿es de confiar?

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 75 99,8 2 158 120,1 35 1225 28% 3 173 140,5 -24 24 576 23% 4 210 160,9 62 3844 38% 5 215 181,3 -33 33 1089 25% 6 199 201,7 -21 21 441 19% 7 220 222,1 63 3969 36% 8 218 242,5 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08% Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94% Este es un error común en las regresiones aplicadas: el modelo lineal establece un R2 = 68% y el logarítmico R2=89%, en el lineal establece que un 68% de la variabilidad del dato yt se explica por la variable t.

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 75 99,8 2 158 120,1 35 1225 28% 3 173 140,5 -24 24 576 23% 4 210 160,9 62 3844 38% 5 215 181,3 -33 33 1089 25% 6 199 201,7 -21 21 441 19% 7 220 222,1 63 3969 36% 8 218 242,5 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08% Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94% Mientras que en el modelo logarítmico, se establece que un 89% de la variabilidad de yt se explica por la variable ln(t), ahora, ¿Esto es fácil de aplicar en la realidad? Por supuesto que no, el tiempo no se transforma.

Técnica: Regresión Lineal con Tiempo yt ŷt et |et| et2 |et|/yt 1 75 99,8 2 158 120,1 35 1225 28% 3 173 140,5 -24 24 576 23% 4 210 160,9 62 3844 38% 5 215 181,3 -33 33 1089 25% 6 199 201,7 -21 21 441 19% 7 220 222,1 63 3969 36% 8 218 242,5 -77 77 5929 79% 9 97 0,71 45 2439 35% Modelo lineal : ŷt = 108,8 + 16,595 t . R2 = 68,08% Modelo logarítmico: ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t) . R2 = 88.94% Esta sencilla explicación demuestra porqué se debe enfatizar en el pronóstico mediante series temporales convencionales: el ajuste de Sipper, el Modelo de Holt ó el Suavizado exponencial con Tendencia entre otros.