Funciones: Conceptos Básicos Sesión 2.2 Funciones: Conceptos Básicos Definición y notación de funciones Continuidad Funciones crecientes y decrecientes Acotamiento Extremos locales y absolutos Simetrías Asíntotas Matemática Básica(Ing.)

Primera práctica calificada: sábado 29 de 9 a 11 AM. Información del curso Tareas: ingresar al aula virtual e imprimir. Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12) Primera práctica calificada: sábado 29 de 9 a 11 AM. Matemática Básica(Ing.)

Introducción: Salario mínimo por hora La siguiente tabla muestra el crecimiento del salario mínimo por hora (SMH) de 1955 a 2005 en Estados Unidos y a la vez muestra el SMH ajustado al poder adquisitivo de dólares de 1996. Año SMH Poder adquisitivo en dólares de 1996 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0,75 1,00 1,25 1,60 2,10 3,10 3,35 3,80 4,25 5,15 4,39 5,30 6,23 6,47 6,12 5,90 4,88 4,56 4,38 4,69 4,15 Matemática Básica(Ing.)

Introducción ¿En cuál periodo de 5 años el SMH real aumentó más? ¿En qué año un trabajador que gano el SMH disfrutó el máximo poder adquisitivo? Un trabajador con salario mínimo en 1980 ganaba el doble de un trabajador con salario mínimo en 1970 y, aún así, había gran presión por subir nuevamente el salario mínimo. ¿Por qué? Matemática Básica(Ing.)

Introducción A partir de la grafica determine: El dominio y el rango. Los ceros de la función. Intervalos de monotonía. Cotas superior e inferior. Puntos de discontinuidad. Extremos locales y absolutos. Simetrías. Asíntotas. Matemática Básica(Ing.)

Habilidades Define el concepto de función, así como el dominio y el rango. Determina el dominio a partir de la ley de correspondencia. Identifica si una curva representa una función mediante el criterio de la recta vertical. Determina el rango a partir de la grafica. Identifica gráficamente los puntos de discontinuidad y los clasifica. Determina los intervalos donde una función es creciente, decreciente o constante. Identifica gráficamente si una función tiene cota superior, inferior o esta acotada. Identifica y determina de forma grafica los valores extremos, y las asíntotas para una función. Identifica si una función es simétrica y si tiene asíntotas. Determina las ecuaciones de las asíntotas. Matemática Básica(Ing.)

Definiciones: Una función de un conjunto D a un conjunto R es una regla que asigna a cada elemento de D un único elemento en R. El conjunto D de todos los valores de entrada es el dominio de la función. El conjunto R de todos los valores de salida es el rango de la función. Matemática Básica(Ing.)

Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Es útil comparar la función con una máquina en la cual para cada x que ingresa, la máquina produce la salida f(x). entrada salida f x f(x) y = f(x) se lee “y es igual a f en x” o “el valor de f en x”, llamada regla de correspondencia de una función. Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo Determine el dominio de cada función Matemática Básica(Ing.)

Gráfica de una función Si f es una función con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos f(1) f(2) f(3) (x; f(x)) f(x) x Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo De las tres gráficas que se muestran, ¿cuál no es la gráfica de una función? x y x y x y Matemática Básica(Ing.)

Criterio de la recta vertical Suponga que C es una curva en el plano XY. C es la gráfica de una función si toda recta vertical que la interseca lo hace una sola vez. En el texto dice (página 87) Una gráfica (conjunto de puntos (x; y)) en el plano XY define a y como una función de x, si y sólo si, ninguna recta vertical interseca a la gráfica en más de un punto. Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo Determine el dominio y el rango a partir de las gráfica de las siguientes funciones -0.5 f(x) = 1/x Matemática Básica(Ing.)

Concepto geométrico de función continua x y x a f(a) y x a y Continua en toda x Discontinuidad removible Discontinuidad removible x y a x y a Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita Resolver ejercicios 21, 22, 23 y 27. Pág. 102 Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible? Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible? Matemática Básica(Ing.)

Definiciones: Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f(x). Una función f es decreciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo en f(x). Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f(x). Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo Determine los intervalos en que f es creciente, decreciente o constante. Matemática Básica(Ing.)

Concepto geométrico de acotamiento x y x y Acotada por arriba No acotada por debajo No acotada por arriba No acotada por debajo y x x y No acotada por arriba Acotada por debajo Acotada Matemática Básica(Ing.)

Definiciones: Una función f está acotada por debajo si existe algún número b que sea menor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números b se denomina cota inferior de f. Una función f está acotada por arriba si existe algún número B que sea mayor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números B se denomina cota superior de f. Una función f está acotada si está acotada por arriba y por debajo. Desarrolle: el ejemplo 7 (página 95). Resolver: ejercicios 21, 33 y 37. Pág. 102. Use Winplot o el Derive. Matemática Básica(Ing.)

Definiciones: Un máximo local de una función f, es un valor f(c) que es mayor o igual a todos los valores del rango de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) es mayor o igual que todos los valores del rango de f, entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f. Un mínimo local de una función f, es un valor f(c) que es menor o igual a todos los valores del rango de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) es menor o igual que todos los valores del rango de f, entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f. Desarrolle el ejemplo 8 (página 95) u otros similares. Use Derive o Winplot. x y P Q R Matemática Básica(Ing.)

Simetría con respecto al eje Y Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica x f(x) -3 9 -2 4 -1 1 2 (-x; y) (x; y) Las funciones con esta propiedad son llamadas funciones PARES Matemática Básica(Ing.)

Simetría con respecto al origen Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica x f(x) -3 -27 -2 -8 -1 1 2 8 3 27 (x; y) Las funciones con esta propiedad son llamadas funciones IMPARES (-x; y) Resolver el ejemplo 9 (página 98) u otros similares Matemática Básica(Ing.)

Definiciones: La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) se aproxima a b como límite, cuando x tiende a +∞ o –∞. En la notación de límites: La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) tiende a +∞ o –∞, cuando x se aproxima a a por cualquier dirección. En notación de límites: Matemática Básica(Ing.)

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios de la sección 1.2 Pág. 102 - 105 Sobre la tarea Esta publicada en el AV Moodle Matemática Básica(Ing.)