SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO ORDEN DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) es descrita por la solución de una ecuación diferencial de segundo orden. Donde f(t) es la entrada ( función forzada ). Si es diferente de cero, la ecuación (1.1) se escribirá: 1.1 1.2 1

Donde: La ecuación (1.2) es la forma normal de un sistema de segundo orden, donde es el periodo de oscilación normal del sistema, es el factor de amortiguamiento es la ganancia de estado estable, ganancia estática ó ganancia simple del sistema. La función de transferencia standard de un sistema de segundo orden: 1.3 2

Los sistemas de segundo orden y en general los sistemas de orden superior pueden ser originados a partir de varias situaciones físicas. Estas pueden ser clasificadas en tres categorías: 1. Procesos Multicapacitivos: procesos que consisten en dos o más sistemas de primer orden en serie, a través de los que fluye materia o energía. 2. Sistemas inherentes de segundo- orden: tales como fluido o los componentes mecánicos sólidos de un proceso que poseen inercia y estan sujetos a la aceleración. Tales sistemas son escasos en procesos químicos. 3. Sistemas de procesamiento con su controlador: pueden ser representados por sistemas de segundo orden o de orden superior. 3

2. MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR 2.1 Tanques en serie – sistema no interactivo. Un ejemplo típico de un sistema no interactivo es el sistema de tanques que se muestra en la figura 2.1. Se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan el nivel del segundo tanque con el flujo de entrada al primer tanque, fi(t), y el flujo de la bomba, fo(t). 4

Figura 2.1 tanques en serie – sistema no interactivo. En este ejemplo todos los tanques están abiertos a la atmósfera y el proceso es isotérmico. La apertura de las válvulas permanece constante y el flujo del líquido a través de las válvulas se expresa mediante : 5

Cv = coeficiente de la válvula, 1bm/pies3 7.48 = factor de conversión de galones a pies3 G = gravedad La ecuación de balance de masa en estado dinámico para el primer tanque es: donde: = densidad líquido, 1bm/pies3 = área transversal del tanque 1, pies2 2.1 6

De la expresión (2.1) se obtiene: Con las ecuaciones (2.2) y (2.3) se describe el primer tanque. Para el segundo tanque usamos el mismo procedimiento y se obtiene: Remplazando la ecuación (2.3) en la ecuación (2.2) y remplazando (2.3) y (2.5) en (2.4), luego dividiendo las dos ecuaciones resultantes entre la densidad, se obtiene: 2.2 2.3 2.4 7

2.5 2.6 Las ecuaciones (2.6) y (2.7) representan la dinámica del sistema de los tanques en serie, pero estas ecuaciones son no lineales, por lo tanto para obtener la función de transferencia deben ser linealizadas. Luego de linealizarlas y definir las variables de desviación, se obtienen las siguientes ecuaciones: Para la ecuación (2.5) se obtiene: 2.7 8

Donde: Las variables de desviación: De la ecuación (2.6) 2.8 9

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (2. 5) y (2 Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (2.5) y (2.6) y reordenando los términos se obtiene: 2.7 2.8 La función de transferencia del sistema se determina sustituyendo la ecuación (2.7) en la (2.8), obteniéndose: 2.9 10

Luego las funciones de transferencia individuales son:   La función de transferencia de la ecuación (2.9) se llama función de transferencia de segundo orden o retardos de segundo orden y tal como se han obtenido, se forman a partir de dos funciones de transferencia de primer orden. 11

El modelo matemático de tres tanques en serie, figura 2 El modelo matemático de tres tanques en serie, figura 2.2, se puede construir rápidamente a partir del modelo de dos tanques en serie cuyas ecuaciones se muestran en (2.1) y (2.3). para el tercer tanque el balance de masa estado dinámico de la ecuación:   De la expresión general que determina el flujo a través de la válvula, de igual forma usándola en la válvula 3, se obtiene otra ecuación: 2.10 2.11 12

Figura 2.2 tres tanques en serie – sistema no interactivo 13

Siguiendo el mismo proceso anterior reemplazamos (2. 10) en (2 Siguiendo el mismo proceso anterior reemplazamos (2.10) en (2.11) y luego dividimos entre la densidad para obtener: Linealizando la ecuación (2.12) y definiendo la nueva variable de desviación, se obtiene la siguiente ecuación:   donde: 2.12 2.13 y 14

Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación (2 Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación (2.13) y reordenando los términos se obtiene: 2.14 Sustituyendo la ecuación (2.9) en la ecuación (2.14) se obtiene: 2.15 15

Figura 2.3 Diagrama de bloques no interactivos en serie. La función de transferencia de la ecuación (2.15) se llama función de transferencia de tercer orden o retardos de tercer orden. Figura 2.3 Diagrama de bloques no interactivos en serie. 16

Figura 2.4 Tanques en serie – sistema interactivo Un sistema interactivo de dos tanques se muestra en la figura 2.4, esto puede conseguirse redistribuyendo los tanques de la figura 1.1. Figura 2.4 Tanques en serie – sistema interactivo 17

La interacción entre los tanques se muestra claramente a partir de la ecuación de flujo de la válvula, f1(t), es decir: La ecuación de balance de masa en estado dinámico para el primer tanque es: 2.16 2.17 18

La ecuación (2. 16) con la ecuación (2 La ecuación (2.16) con la ecuación (2.17) forma un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas. Para el segundo tanque usamos el mismo procedimiento y se obtiene: Remplazando (2.1) en (2.17) y dividiendo la ecuación resultante entre la densidad se obtiene: 2.18 2.19 2.20 19

Linealizando y usando las variables de desviación de (2 Linealizando y usando las variables de desviación de (2.20) se obtiene: Donde: 2.21 Reordenando la ecuación (2.20) y aplicando la transformada de Laplace: 2.22 20

Donde: Siguiendo el mismo procedimiento para el tanque 2, se obtiene: 2.23 sin dimensiones 21

la función del sistema se determina sustituyendo la ecuación (2 la función del sistema se determina sustituyendo la ecuación (2.22) en la (2.23), obteniéndose: o reacomodando términos: 2.24 22

Figura 2.5 Diagrama de bloques de un sistema interactivo de dos tanques 23