Información Cuántica José Ignacio Latorre Dept. ECM, Universitat de Barcelona Benasque, Julio 2004

Información Cuántica Información Cuántica Espacio de Hilbert Principio de superposición Teorema de no clonado Entanglement, desiguladades de Bell

“Computabilidad” = “Computable en una máquina de Turing” 1930’s Church, Gödel, Turing, Post,.. “Computabilidad” = “Computable en una máquina de Turing” La representación, procesamiento y comunicación de la información se basa en las leyes de la Física 1980’s Feynman, Deutsch,..., Bennett, Shor,... Ordenador clásico Ordenador Cuántico Física clásica Mecánica Cuántica Quantum cryptography Quantum computation QI Theory standards Teleportation Ion traps Quantum dots Optical lattices Atomic clocks BEC Atomic lasers

Paradigma clásico Descripción Principio dinámico Postulados tácitos: Vivimos en R3 El espacio es homogéneo e isótropo (leyes de conservación de la energía y momento lineal) Principio dinámico var dependiente var independiente

Paradigma cuántico Todo sistema físico tiene asociado un espacio de Hilbert Todo Observable corresponde a un operador hermítico en H var dependiente var independientes

El resultado de una medida es probabilístico Observables no compatibles Principio dinámico

Ejercicio Estudiantes < 3 Preguntar MC a los alumnos de >3 (¿Es la tercera ley de Newton equivalente a homogeneidad e isotropía del espacio?) Estudiantes > 3 Explicar los postulados de la MC a los alumnos de < 3 (¿Por qué las ecuaciones de la Física son ecuaciones diferenciales de segundo orden?) Todos: preguntar a los profes

( Notación Representación abstracta del sistema: ket )

La mecánica cuántica dicta que la evolución del estado es determinista. Las medidas de observables sobre este estado son probabilísticas

Determinismo Pierre Simon Laplace Essai Philosophique sur les Probabilites, 1819. Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome; rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. Werner Karl Heisenberg uncertainty principle paper, 1927 In the sharp formulation of the law of causality-- "if we know the present exactly, we can calculate the future"-it is not the conclusion that is wrong but the premise.

Qubits = |0 = |1 Principio de superposición ↔ espacio de Hilbert

Qubits lógicos pueden adoptar diferentes soportes físicos Electrón spin: up / down Niveles energéticos en un átomo: fundamental / excitado Corrientes superconductoras: izquierda / derecha NMR, 60C, quantum dots, QHE antidots, ... Superposición de un número exponencial de estados (n qubits → 2n estados) Procesamiento paralelo implícito

Teorema de no clonado Linealidad de la MC + superposición = NO clonado |0 UQxerox |0|a = |0 |0 |1 UQxerox |1 |a = |1 |1 (|0 + |1) UQxerox (|0 +|1) = |0 |0 + |1 |1  (|0 +|1)(|0 +|1)

Es imposible conocer de forma exacta el estado de un sistema Teleportación es posible ! (hecho a distances of 67 km !!!) N → Perfecta inferencia para  y  N copias

Puertas lógicas cuánticas Conjunto universal de puertas: {CNOT, Hadamard, fase relativa} Arbitrary relative phase Hadamard CNOT (XOR)

Algoritmo de Deutsch: es una función constante o no? ( Clásicamente se precisan dos llamadas f(0) y f(1) )

Algoritmo cuántico de Shor permitirá descomponer un número enorme en sus factores primos en tiempo polinómico Criptografía RSA se vuelve inservible!!!!!! El teorema de no clonado permite lograr criptografía cuántica

Entrelazamiento (entanglement) |- = ½ ( | 0 1 - |1 0 )  | | Entanglement = correlaciones cuánticas no locales -2 ≤ -| (a1+a2)b1+(a1-a2)b2) |- ≥2 Las desiguladades de Bell caracterizan las caras de un politopo clásico

A(n1) B(n2) Mente clásica Si asumimos anticorrelación perfecta:

La mente cuántica busca el límite de la capacidad de predicción clásica Desigualdad de Bell La MC viola la desigualdad

Aspect 81 Gisin et al. Violaciones a 100 km empleando time-bins Violaciones con luz del día por el aire a 1.6 km Verificación en trampas de iones Eliminación de loopholes Desigualdades para dimensiones arbitrarias Caracterización del politopo clásico Empleo de desigualdades en criptografía Ekert 91 (Viena 99) ….